
- •§1. Основні означення та властивості алгебраїчних систем
- •1.1. Алгебраїчні системи з однією операцією
- •1.2. Підгрупи, класи суміжності. Теорема Лагранжа
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §1
- •§2. Властивості циклічних груп. Відображення груп
- •2.1. Властивості циклічних груп
- •2.2. Відображення груп. Нормальні підгрупи. Терема про ізоморфізм груп
- •2.3. Внутрішні автоморфізми групи та спряжені елементи
- •2.4. Нормалізатор множини. Центр групи
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §2
- •§3. Алгебраїчні системи з двома операціями. Ідеал кільця, Факторкільце за ідеалОм
- •3.1. Означення та основні властивості кілець
- •3.2. Ідеал кільця. Факторкільце за ідеалом
- •3.3. Відображення кілець
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §3
- •§4. Характеристика кільця, Характеристика скінченного поля. Факторкільця за різними ідеалами, їх властивості
- •4.1. Характеристика кільця, її властивості
- •4.2. Залежність властивостей факторкільця від ідеалу
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §4
- •§5. Алгоритм Евкліда. Основна теорема арифметики. Конгруенції та їх властивості. Китайська теорема про лишки
- •5.1. Прості числа, нсд, нск. Розширений алгоритм Евкліда, його наслідки
- •5.2. Розклад на прості множники. Фундаментальна теорема арифметики
- •5.3. Конгруенції (порівняння) та їх властивості
- •5.4. Кільця лишків Zn, їх властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §5
- •§6. Подільність, факторизація. Застосування факторизації
- •6.1. Узагальнення Китайської теореми про лишки
- •6.2. Наслідки теореми Ойлера
- •6.3. Структура мультиплікативної групи скінченого поля
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §6
- •§7. Алгоритми та їх складність. Поліноміальні та експоненційні алгоритми. Час роботи основних алгоритмів
- •7.1. Означення часу роботи алгоритму. Типи алгоритмів
- •7.2. Час роботи основних алгоритмів
- •1. Додавання двійкових чисел
- •2. Множення двійкових чисел
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §7
- •§8. Імовірнісні алгоритми. Алгоритми з оракулами. Порівняння складності задач
- •8.1. Означення імовірнісного алгоритму. Типи імовірнісних алгоритмів
- •8.2. Алгоритми з оракулами
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §8
- •§9. Квадратичні лишки та нелишки. Добування квадратного кореня у кільці лишків
- •9.1. Означення та властивості квадратичних лишків
- •9.2. Символ Лежандра та символ Якобі. Їх властивості та обчислення
- •3. Оскільки y' – непарне, то : .
- •9.3. Добування квадратного кореня
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §9
- •§10. Псевдопрості числа. Тестування простоти
- •10.1. Найпростіші алгоритми тестування простоти
- •10.2. Псевдопрості числа: означення та властивості
- •10.3. Імовірнісні алгоритми тестування простоти
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §10
- •§11. Означення дискретного лОгАриФму. Алгоритм знаходження дискретного логарифму у мультиплікативній групі скінченНого поля Zp
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §11
- •§12. Важкооборотні функції, Ядро, Предикат. Застосування важкооборотних функцій у криптографії. Класичні асиметричні криптосистеми
- •12.1. Важкооборотні функції. Предикат, ядро важкооборотної функції
- •12.2. Застосування важкооборотних функцій для побудови криптосистем імовірнісного шифрування
- •12.3. Застосування односторонніх функцій для побудови класичних асиметричних криптосистем
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі до §12
- •Література
- •Предметний покажчик
2.2. Відображення груп. Нормальні підгрупи. Терема про ізоморфізм груп
При порівнянні структур двох груп важливу роль відіграють такі відображення, що зберігають групові операції.
Нехай (Н, ·), (G, ) – групи.
Означення 2.3: відображення f: H G називається:
гомоморфізмом, якщо для будь-яких h1,h2 H: f(h1·h2) = f(h1)f(h2);
ендоморфізмом, якщо f – гомоморфізм і H = G;
епіморфізмом, якщо f – гомоморфізм i сюр'єкція;
ізоморфізмом, якщо f – гомоморфізм і бієкція;
автоморфізмом, якщо f – ізоморфізм і H = G.
Будемо
говорити, що група H
ізоморфна
групі G,
і позначати
,
якщо існує відображення f:H
G,
яке є ізоморфізмом. При цьому, внаслідок
бієктивності відображення f,
існує обернене відображення
;
легко довести, що воно також є ізоморфізмом.
Тому якщо H
ізоморфна групі G,
то G
ізоморфна групі H.
В цьому випадку кажуть, що групи G
і H
ізоморфні.
Поняття ізоморфізму та ізоморфних об’єктів є одним з центральних понять у алгебрі. Групи, що є ізоморфними, мають однакові (з точністю до позначень) таблиці Келі, і тому вважаються однаковими. Наприклад, кажуть, що існує єдина (з точністю до ізоморфізму) група порядку 2; існує єдина (з точністю до ізоморфізму) група порядку 3; існує єдина (з точністю до ізоморфізму) нескінчена циклічна група – це група цілих чисел з операцією додавання.
Приклад 2.4: розглянемо групи (Z, +), (Zп, ) та відображення f: Z→Zп; f (a) = a mod n. Тоді
f (a + b) = (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n = f (a) Å f (b),
отже, задане відображення є гомоморфізмом. Воно також є епіморфізмом, але не є ізоморфізмом.
Твердження 2.5: якщо f: H G– гомоморфізм, то f (eH) = eG i f (a–1) = f (a)–1, де під eH та eG розуміємо одиничні елементи груп H і G, відповідно, під a–1 розуміємо елемент групи Н, обернений до елемента aH, а під f (a)–1 розуміємо елемент групи G, обернений до елемента f (a)G.
Твердження 2.6: автоморфізми групи G утворюють групу відносно операції композиції.
Твердження 2.5, 2.6 рекомендується довести самостійно.
Означення 2.7: нехай f: G H – гомоморфізм.
Ядром гомоморфізму f називається множина ker f = {gÎG: f(g) = eH} (зрозуміло, що eGÎker f).
Образом гомоморфізму f називається множина Im f = {hÎH: gÎG, f(g) = h}.
Приклад 2.8: розглянемо відображення f: Z Zп, f(a) = a mod n. Тоді ker f = {всі числа, кратні n} = nZ.
Означення
2.9:
підгрупа H
G
називається нормальною
підгрупою групи G
(або нормальним
дільником
групи G;
позначається H
G),
якщо hÎH
gÎG:
ghg–1ÎH
(або, що рівносильно, g–1Hg
H).
Приклад 2.10: нормальною підгрупою є будь-яка підгрупа абелевої групи; нормальною підгрупою є ядро гомоморфізму груп.
Теорема 2.11 (критерій нормальності): наступні умови рівносильні:
H G – нормальна підгрупа;
Н = g–1Hg, тобто Н інваріантна відносно всіх внутрішніх автоморфізмів;
"aÎG: aH = Ha (лівий клас суміжності за підгрупою Н співпадає з правим).
Доведення:
доведемо, що з першого твердження
випливає друге. Якщо Н
– нормальна підгрупа, то для будь-якого
співвідношення
g–1Hg
Н
справедливе за означенням. Покажемо,
що Н
g–1Hg,
тобто "hÎН
$h1ÎН:
h = g–1h1g.
Оберемо довільні елементи hÎН
і
і покладемо h1 = ghg–1.
Тоді h1ÎH,
за означенням нормальної підгрупи, і,
крім того, для нього виконується
співвідношення h = g–1h1g.
Тоді
h1 = ghg–1
і є шуканий елемент.
Доведемо, що з другого твердження випливає третє. Нехай H = g–1Hg. Якщо всі елементи обох множин у лівій і правій частині рівності домножити зліва на один і той же елемент g, то отримані множини також будуть рівними, тобто отримаємо рівність gH = Hg.
Аналогічно доводиться, що з третього твердження випливає перше. Теорему доведено.
Нехай і надалі Н підгрупа деякої групи G. На множині (лівих) класів суміжності групи G за підгрупою Н задамо наступну операцію:
(аН)(bН) = (ab)H. (2.1)
Наступна терема є надзвичайно важливою при подальшому вивчені алгебраїчних структур.
Теорема 2.12: якщо Н – нормальна підгрупа групи G, то множина (лівих) класів суміжності утворює групу відносно операції (2.1).
Доведення: достатньо довести, що операція (2.1) задана коректно. Виконання інших умов, таких як асоціативність заданої операції, наявність одиничного елемента (eH – одиничний елемент) та оберненого елемента відносно даної операції ((аН)–1=а–1Н)), а також замкненість відносно неї множини класів суміжності перевіряється безпосередньо за означенням операції.
Під коректністю операції розуміється наступне. Оскільки один клас суміжності можна отримати різними способами (за властивістю 2 класів суміжності, теорема 1.21, a1Н = а2H a2–1a1ÎH), необхідно довести, що операція (2.1) не залежить від того, як саме буде представлено клас суміжності. Тобто нам необхідно довести наступне: якщо a1Н = а2H та b1Н = b2H для деяких a1,а2,b1,b2 ÎG, то (a1Н)(b1Н)=(а2H)(b2H), тобто a1b1Н=а2b2H.
Якщо
виконують рівності a1Н = а2H
та b1Н = b2H,
тоді, за властивістю 2 класів суміжності
(теорема 1.21),
.
За тією ж властивістю, для доведення
рівності a1b1Н=а2b2H
достатньо довести, що
.
Позначимо
.
Тоді
,
оскільки b1 = h2b2.
Але
внаслідок замкненості підгрупи Н
відносно операції, і тому, внаслідок
нормальності підгрупи Н,
.
Теорему доведено.
Зауважимо, що умова нормальності підгрупи Н є суттєвою при доведенні даної теореми.
З теореми 2.12 випливає, що операцію над класами суміжності можна виконувати наступним чином:
- вибрати представника ah1 класу аН;
- вибрати представника bh2 класу bН;
- визначити, в який клас суміжності потрапить елемент ah1bh2, і цей клас суміжності назвати результатом операції (аН)(bН).
При цьому результат операції не залежатиме від вибору представників класів суміжності, тобто незалежно від вибору h1 і h2 буде виконуватись співвідношення ah1bh2abH. Дійсно, для доведення цього співвідношення достатньо довести, що hH: ah1bh2 = abh, тобто b–1h1bh2 = h. Але за означенням нормальної підгрупи b–1h1bH, відповідно h=b–1h1bh2 ÎH.
Така
інтерпретація операції над класами
суміжності дає можливість від операції
над множинами (класами суміжності)
перейти до операції над їх елементами.
З кожного класу суміжності групи G
за підгрупою Н
обираємо по одному елементу; обрані
елементи утворюють так звану систему
представників.
Для будь-якого
представник класу суміжності
позначається
.
Далі від операції над класами суміжності
ми переходимо до операції над їх
представниками наступним чином: якщо
та
,
то
,
де
– представник класу суміжності, що
містить елемент.
Означення 2.13: нехай Н – нормальна підгрупа G. Факторгрупою групи G за підгрупою Н називається група, утворена (лівими) класами суміжності, з операцією (2.1). Ця група позначається G/H.
Зауваження
2.14:
порядок факторгрупи G/H
дорівнює кількості класів суміжності
групи G
за підгрупою Н
(індексу (G: H)
підгрупи H
у
групі G).
Якщо
|G| <
,
то |G/H| =
,
за теоремою Лагранжа.
Покажемо, що з кожною нормальною підгрупою Н групи G пов’язаний деякий гомоморфізм. Має місце наступна теорема.
Теорема 2.15 (про ізоморфізм груп).
1)
Нехай : G
G1
– гомоморфізм груп. Тоді ker
– нормальна підгрупа в G
і
.
(Тобто
факторгрупа за ядром гомоморфізму
ізоморфна образу цього гомоморфізму).
2) Нехай Н нормальна підгрупа групи G. Тоді відображення φ: G G/H, де φ(g) = gH, є гомоморфізмом, і при цьому ker = H. (Іншими словами, кожна нормальна підгрупа Н групи G задає деякий гомоморфізм з групи G у її факторгрупу G/H).
Доведення.
1) Доведемо, що ker
– нормальна підгрупа в G.
Потрібно довести, що для будь-яких
,
тобто
.
Дійсно, за означенням гомоморфізму та
внаслідок того, що
,
отримаємо:
=
=
=
=
.
Доведемо
ізоморфність
.
За
означенням ізоморфних груп, нам треба
побудувати відображення
,
яке
є ізоморфізмом. Побудуємо це відображення
наступним чином:
.
Легко
бачити, що дане відображення є
гомоморфізмом. Також воно буде
сюр’єктивним, оскільки за означенням
образу гомоморфізму
,
тоді
,
тобто для будь-якого
.
Доведемо
ін’єктивність даного відображення.
Нехай для деяких
виконується рівність
.
За означенням відображення
,
це означає, що
.
Але при цьому буде виконуватись
,
тобто
,
що означає рівність прообразів
,
за властивістю 2 класів суміжності
(теорема 1.21).
2)
Нехай Н
нормальна підгрупа групи G.
Доведемо, що відображення φ: G
G/H,
де φ(g) = gH,
є гомоморфізмом. Дійсно,
,
де перша рівність виконується за
означенням відображення ,
а друга за означенням операції (2.1) на
класах суміжності.
Доведемо,
що ker
= H.
Нехай
.
Тоді φ(h) = hH=H=eH,
де клас суміжності eH
і є нейтральним елементом групи G/H,
що й означає h ker .
І навпаки, якщо hker
,
то
,
і за властивістю 2 класів суміжності
(теорема 1.21)
.
Теорему доведено.