Питання для самоконтролю

1. Доведіть, що прості елементи кільця цілих чисел – це прості числа.

2. Як, декілька разів застосувавши алгоритм Евкліда, можливо обчислити НСД від довільної кількості чисел?

3. Як визначити НСД та НСК двох чисел, якщо відомі їх канонічні розклади на прості множники?

4. Чи є різниця між твердженнями x  y (mod n) і x = y mod n?

5. Як визначити число елементів мультиплікативної групи кільця лишків за модулем натурального числа?

6. Вкажіть критерій оборотності елемента кільця лишків.

Задачі до §5

1. Довести: НСД(а, b)·НСК(а, b) = а·b.

2. Використовуючи властивості конгруенцій, знайти 1212121 mod 9 та –1212121 mod 9.

3. Знайти НСД(959, 791), використовуючи алгоритм Евкліда. Подати НСД(959, 791) у вигляді лінійної комбінації чисел 959 та 791.

4. Довести: НСД – асоціативна бінарна операція.

5. Знайти такі u, vZ, що 137u + 113v = 1. Знайти 113^–1 mod 137.

6. Довести: НСД(а, b) дорівнює найменшому натуральному числу, яке можна подати у вигляді u а + v b, де u, vZ.

7. Використовуючи властивості конгруенцій, довести ознаку подільності на 9: число ділиться на 9 тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

8. Розкласти число 1934064 на прості множники та обчислити значення функції Ойлера від цього числа.

9. Знайти таке число х, що х ≡ 40 mod 137 та х ≡ 50 mod 113.

10. Для яких п значення (п) будуть непарними числами?

11. Довести, що для уZ_п^ відображення , де f_y(x) = (yx) mod n, є перестановкою множини Z_п.

12. Довести, що означення НСД та НСК не зміняться, якщо умову 2) означень 5.1 та 5.2 замінити на умови 2*) та 2**), відповідно.

13. Скласти алгоритм для розв’язку в цілих числах рівняння , де Z – деякі параметри.

§6. Подільність, факторизація. Застосування факторизації

6.1. Узагальнення Китайської теореми про лишки

Теорема 6.1 (узагальнення Китайської теореми про лишки): нехай

{m₁, m₂, …, m_r}Z; (m_i, m_j) = 1, , i j;  Z.

Тоді існує розв'язок xZ системи порівнянь

(6.1)

причому, якщо x, y – два різних розв'язки системи, то x y (mod M), де M = m₁·…·m_r. Зокрема, існує єдиний розв’язок на інтервалі від 0 до М-1 включно.

Доведення: позначимо М_і = M/m_і. Тоді (M_i, m_i) = 1, отже, N_i: M_iN_i 1 mod m_i.

Нехай x = M_iN_i. Тоді x mod m_i = x_iM_iN_i mod m_i = x_i mod m_i, і = 1, …, r, звідки , тобто x є розв’язком (6.1).

Покажемо, що будь-які два розв’язки системи (6.1) конгруентні за модулем M. Нехай x, y – розв'язки (6.1), тоді (x – y) mod m_і = 0, і = 1, …, r, і, оскільки (m_i, m_j) = 1, i j; за властивістю конгруенцій (п.6 твердження 5.20), (x – y) mod M = 0; тобто x y(mod M).

Єдиність розв’язку на вказаному інтервалі також випливає з конгруенції x y(mod M). Теорему доведено.

Розглянемо цікавий приклад застосування узагальненої Китайської теореми для розв’язку задачі про розподіл таємниці.

Приклад 6.2 (задача про розподіл таємниці): нехай одній людині відоме число N – велике натуральне число. Це число і є таємницею, яку власник повинен розділити між n = 2k + 1 іншими людьми (тобто роздати їм деяку, взагалі кажучи, різну, інформацію) так, щоб були виконані наступні умови:

1) будь-яка група з (k + 1) або більше людей, відкривши свою інформацію, разом зможуть обчислити число N,

2) ніяка група з t < k + 1 людей, обмінявшись відомою їм інформацією, не зможуть обчислити число N.

Розв'язок: виберемо n = 2k + 1 взаємно простих чисел m₁, m₂, …, m_n так, щоб виконувались нерівності:

< m₁, m₂, …, m_n < .

Кожна людина отримує свою частину інформації у вигляді N_i = N mod m_i, i = 1, …, n.

Тоді, якщо зберуться не менше за k + 1 володарів інформації, для відновлення числа N їм потрібно розв’язати систему порівнянь:

(6.2)

та обрати у якості числа N найменший додатній розв’язок.

Оскільки, за теоремою 6.1, ! [0, m₁·…·m_k+1], що є розв'язком системи порівнянь, і оскільки > N, внаслідок вибору m_i >  , то N = N₀ – частковий канонічний розв’язок (6.2). Якщо ж кількість рівнянь у системі менша за k + 1, то < N (так як m_i <  ), і можна лише зазначити, що N буде одним з безлічі розв’язків системи.

Як було показано у попередньому параграфі, якщо відомий розклад натурального числа n на прості множники, можна легко обчислити функцію Ойлера за теоремою 5.38. А якщо n = pq, де p, q – прості числа, то справедливим є і обернене твердження.

Твердження 6.3: нехай відомо деяке непарне натуральне число n, яке є добутком двох (невідомих) простих чисел (позначимо їх p і q). Тоді числа p, q є розв’язками квадратного рівняння .

Доведення: нехай n = p q, тоді (n) = (p – 1)(q – 1) = pq – p – q + 1 = = n – (p + q) + 1, звідки p +q = n – (n) + 1.

З урахуванням n = pq отримаємо квадратне рівняння , розв’язками якого є числа , де . Твердження доведено.