Питання для самоконтролю
1. Сформулюйте означення характеристики кільця.
2. Наведіть приклад, коли характеристика цілісного кільця дорівнює нулю.
3. Що таке дільник елемента в комутативному кільці?
4. Нехай R – деяке комутативне кільце, і aR є дільником елемента bR. Чи обов’язково b є дільником елемента a?
Задачі до §4
1.
Нехай G
– група, С
– її центр. Довести:
:
.
2. Нехай I – ідеал кільця R. Довести:
.
3.
Нехай G
– група. Довести, що
.
4.
Нехай G
– група,
.
Довести:
.
5.
Нехай G
– група,
.
Чи вірно, що якщо
,
де
,
то с
комутує з а
та b?
(Довести або навести контрприклад.)
6.
Нехай
– епіморфізм груп. Довести:
а)
кількість його прообразів дорівнює
;
б)
відображення
,
де
,
є ізоморфізмом.
7. Довести: характеристика скінченого кільця ділить його порядок.
8. Довести: якщо характеристика кільця з одиницею не дорівнює нулю, то вона дорівнює адитивному порядку одиниці (тобто порядку одиничного елемента як елемента адитивної групи кільця).
9. Довести: характеристика кільця з одиницею дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли адитивний порядок одиниці дорівнює нескінченості.
10*. Довести, що характеристика скінченого кільця з одиницею не дорівнює нулю. Чи вірно дане твердження для скінченого кільця без одиниці? Як буде в цьому випадку виражатись характеристика кільця через адитивні порядки його елементів?
11*. Довести, що в скінченному некомутативному кільці будь-які (і ліві, і праві) дільники оборотного елемента є оборотними елементами.
12.
Нехай R
– комутативне кільце,
.
Довести: якщо
а
– дільник b,
b
– дільник с,
то а
– дільник с.
Чи є вірним твердження: якщо а
– дільник b,
то b
– дільник а?
13. Довести, що оборотні елементи кільця з одиницею є дільниками будь-яких елементів цього кільця.
14. Довести, що відношення асоційованості елементів комутативного кільця є відношенням еквівалентності.
15. Довести, що в комутативному кільці добуток дільників одиниці є дільником одиниці.
16. Чи вірно, що два асоційованих елемента комутативного кільця одночасно або оборотні, або необоротні?
17*.
Довести, що в скінченному (у тому числі
і у некомутативному) кільці з одиницею
виконано: а
не є дільником нуля (ні лівим, ні правим)
тоді й тільки тоді, коли а
є оборотним елементом (тобто існує такий
елемент а-1,
що
).
Чи вірно це для нескінченного кільця з
одиницею?
18. Чи вірно, що два оборотних елемента комутативного кільця асоційовані?
19.
Нехай
– група дійних чисел з операцією
додавання,
– її підгрупа. Як можна визначити
факторгрупу
?
Наведіть її ізоморфний образ.
20. Довести: одиничний елемент кільця належить деякому ідеалу цього кільця тоді і тільки тоді, коли цей ідеал співпадає з усім кільцем.
21*. При яких значеннях п всі необоротні елементи кільця Zп утворюють ідеал?
22.
Нехай R
– комутативне кільце з одиницею. Довести:
.
23.
Нехай R
– комутативне кільце з одиницею,
.
Довести:
а
– дільник с
(с)(а).
24. Довести, що кільце цілих чисел – кільце головних ідеалів.
25. Довести, що в кільці головних ідеалів ідеал є простим тоді й тільки тоді, коли він породжений простим елементом.
26. Довести, що ідеал кільця Z цілих чисел, породжений елементами 2 та 3 (тобто найменший ідеал, що містить ці числа), співпадає з Z.
27. Які ідеали в кільці цілих чисел є простими? максимальними?
28. Довести, що множина всіх оборотних елементів кільця з одиницею (в тому числі некомутативного) утворює групу відносно операції множення.
29. Довести, що в кільці головних ідеалів будь-який простий ідеал є максимальним (тобто в кільці головних ідеалів поняття максимального і простого ідеалу співпадають).
30*. Чи вірно твердження задачі 29 для будь-якого комутативного кільця з одиницею? Довести вірність твердження або навести контрприклад.