4.2. Залежність властивостей факторкільця від ідеалу

Як було помічено раніше, при побудові факторкільця за ідеалом властивості вихідного кільця можуть як "покращитись", так і "погіршитись". Наприклад, кільце цілих чисел є цілісним кільцем (але не є полем), а його факторкільце за ідеалом в деяких випадках є полем, а в інших – кільцем з дільниками нуля (наведіть приклади самостійно). Далі ми розглянемо різні типи ідеалів та визначимо, як певні властивості ідеалу кільця впливають на властивості відповідного факторкільця. Спочатку введемо ряд означень.

Нехай надалі R – комутативне кільце з одиницею.

Означення 4.11: елемент aR називається дільником елемента bR, якщо сÎ R: ас = b.

Зокрема, дільники одиниці називаються оборотними елементами. Інакше кажучи, елемент а кільця R називається оборотним, якщо існує такий елемент а^-1Î R, що а а^-1 = а^-1 а=е.

Зауваження 4.12: надалі при розв’язуванні задач ми будемо користуватись поняттям подільності і у некомутативному кільці. У цьому випадку розрізняють ліві та праві дільники елемента кільця. Зокрема, елемент є дільником нуля, якщо він є або лівим, або правим дільником нуля. У нескінчених некомутативних кільцях (наприклад, у кільці матриць) існують елементи, що є лише лівими або лише правими дільниками одиниці.

Означення 4.13: елементи a, bR називаються асоційованими, якщо існує R^* такий, що a = b.

Означення 4.14: елемент cR називається простим, якщо одночасно виконуються наступні умови:

1) c не є оборотним;

2) всі дільники с є або оборотними, або асоційованими з ним.

Приклад 4.15: прості елементи у кільці Z – це прості числа. Оскільки у цьому кільці лише два оборотних елементи (1 та -1), то кожен елемент аZ має рівно два асоційованих з ним елементи: а та -а.

Означення 4.16: ідеал P кільця R (такий, що P ≠ R) називається простим, якщо виконується умова: "a, bR: abP (aP)  (bP).

Означення 4.17: ідеал M кільця R (такий, що M ≠ R) називається максимальним, якщо для будь-якого ідеалу I кільця R виконується умова:

якщо M I , то або M = I, або R = I (тобто в R немає ідеалу, більшого за M, крім самого R).

Використовуючи введені означення, сформулюємо та доведемо теорему про властивості факторкільця у залежності від властивостей ідеалу.

Теорема 4.18: нехай R – комутативне кільце з одиницею. Тоді:

1) ідеал М R – максимальний R/М – поле;

2) ідеал р R – простий R/р – цілісне кільце;

3) ідеал р R – максимальний  ідеал р R – простий;

4) якщо R – кільце головних ідеалів, сR, то R/(с) – поле с – простий елемент кільця R.

Доведення. 1. Нехай М – максимальний ідеал. Розглянемо множину I = {ar + m|rR, mM}, для фіксованого aМ, aR. Легко перевірити, що така множина є ідеалом, отже, якщо МI, то I = R. Звідси випливає, що е, отже (rR, mM): ar + m = е, де е – одиничний елемент. Тоді (a + М)(r + М) = ar + М = е + М, тобто клас лишків a + М має обернений відносно множення у факторкільці. Отже, R/М – поле.

І навпаки, нехай R/М – поле, а ідеал І такий, що IМ, І ≠ М. Покажемо, що І = R. Оскільки R/М – поле, то для aÎІ/М $rÎR: (a + М)(r + М) = е + М, звідси ar + т = 1 для деякого mM. Але тоді 1ÎІ, отже, І = R і М – максимальний ідеал.

2. Нехай р – простий ідеал R, тоді R/р – комутативне кільце з одиницею: 1 + р ≠ 0 + р (раніше було доведено, що нейтральний елемент за операцією "+" в кільці не співпадає з нейтральним елементом за операцією "·")

Нехай (а + р)(b + p) = 0 + p = аb + p, а це рівносильне тому, що abÎP. Отже, aÎP або bÎP. Тобто а + р = 0 або b + p = 0, і дільники нуля в R/р відсутні.

У зворотний бік твердження доводиться аналогічно.

3. Дане твердження є наслідком пунктів 1 і 2, оскільки поле є цілісним кільцем.

4. Нехай R/(с) – поле, тоді елемент с не може бути оборотним, оскільки для оборотного елементу R/(с) = {0}.

Нехай с не є оборотним і не є простим елементом. Тоді існує таке aÎR, що а – дільник с, причому а не асоційований з с і не є оборотним (а також а ≠ 0, оскільки тоді було б с = 0 і елемент а був би асоційованим з с). Нехай с = аb, bÎR; покажемо, що а(с). Дійсно, якщо а(с), то а = cd = abd, dÎR, звідки отримаємо а(1 – bd) = 0, а ≠ 0. Отже, bd = 1, b – оборотний і с асоційований з а, що призводить до суперечності. Але с = аb, отже, (с)(а)R, де всі включення власні (так як (с)(а), (а) ≠ R). Звідси (с) – не максимальний ідеал, а отже R/(с) – не поле.

Нехай с – простий. Тоді (с) ≠ R, оскільки с – не оборотний. Якщо І – ідеал, І(с), то І = (а) для деякого а – дільника с (оскільки R – кільце головних ідеалів). Таким чином, або а – оборотний, або асоційований з с, тоді або І = R, або І = (с), і (с) – максимальний ідеал; отже, за пунктом 1), R/(с) – поле.

Теорему доведено.

Приклад 4.19: кільце Z цілих чисел з операціями додавання та множення є кільцем головних ідеалів. Дійсно, оскільки ідеал – підгрупа циклічної групи (Z, +), то за теоремою 2.2 будь-який ідеал в Z є також циклічною групою відносно операції додавання, тому він буде породжуватись відповідним утворюючим елементом.

Нехай рZ – простий елемент в Z, тоді за теоремою 4.18 Z/(р) – поле, отже, простий ідеал (р) є максимальним ідеалом.

Якщо п = аbZ, де а, b ±1, то (п) не є простим ідеалом, отже, Z/(п) – не поле.