Сокращение дробей

Предварительно необходимо готовить учащихся к этому преоб­разованию дробей. Как известно, сократить дробь — это значит числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число. Но делителем должно быть такое число, которое дает в ответе несократимую дробь.

За месяц-полтора до ознакомления учащихся с сокращением дробей проводится подготовительная работа — предлагается из таблицы умножения назвать два ответа, которые делятся на одно и то же число. Например: «Назовите два числа, которые делятся на 4». (Сначала учащиеся смотрят в таблицу, а потом называют эти числа по памяти.) Они называют и числа, и результаты их деления на 4. Затем учитель предлагает ученикам для дроби,

304

например , подобрать делитель — для числителя и знаменателя (опорой для выполнения такого действия является таблица умно­жения).

Далее учитель предлагает подобрать делитель для дроби . (В

какую таблицу надо посмотреть? На какое число можно разделить 5 и 15?) Выясняется, что при делении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число величина дроби не изменилась (это можно показать на полоске, отрезке, круге), только стали круп­нее доли: = . Вид дроби стал проще. Учащиеся подводятся к выводу правила сокращения дробей.

Учащимся школы VIII вида часто оказывается трудно подо­брать наибольшее число, на которое делится и числитель, и знаменатель дроби. Поэтому нередко наблюдаются ошибки такого

характера, как = т. е. ученик не нашел наибольший общий делитель для чисел 4 и 12. Поэтому на первых порах можно разрешить постепенное деление, т. е. = = , но при этом спра­шивать, на какое число разделили числитель и знаменатель дроби сначала, на какое число потом и затем на какое число сразу можно было разделить числитель и знаменатель дроби. Такие вопросы помогают учащимся постепенно отыскивать наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю*

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю нужно рассматривать не как самоцель, а как преобразование, необходимое для сравнения дробей, а затем и для выполнения действий сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

Учащиеся уже знакомы со сравнением дробей с одинаковыми числителями, но разными знаменателями и с одинаковыми знамена­телями, но разными числителями. Однако они еще не умеют сравни­вать дроби с разными числителями и разными знаменателями.

Перед тем как объяснять учащимся смысл нового преобразова­ния, необходимо повторить пройденный материал, выполнив, на­пример, такие задания:

Сравнить дроби , , . Сказать правило сравнения дробей с

одинаковыми числителями.

305

Сравнить дроби , , , . Сказать правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Сравнить дроби и . Эти дроби учащиеся сравнить затрудня­ются, так как у них разные числители и разные знаменатели. Чтобы сравнить эти дроби, нужно сделать равными числители или знамена­тели этих дробей. Обычно в одинаковых долях выражают знаменате­ли, т. е. приводят дроби к наименьшему общему знаменателю.

Учащихся необходимо познакомить со способом выражения дробей в одинаковых долях.

Сначала рассматриваются дроби с разными знаменателями, но такие, у которых знаменатель одной дроби делится без остатка на знаменатель другой дроби и, следовательно, может являться и знаменателем другой дроби.

Например, у дробей и знаменателями являются числа 8 и 2.

Чтобы выразить эти дроби в одинаковых долях, учитель предлага­ет меньший знаменатель умножать последовательно на числа 2, 3, 4 и т. д. и делать это до тех пор, пока не получится результат, равный знаменателю первой дроби. Например, 2 умножим на 2, получим 4. Знаменатели опять у двух дробей разные. Далее 2 умножим на 3, получим 6. Число 6 также не подходит. 2 умножим на 4, получим 8. В этом случае знаменатели стали одинаковыми.

Чтобы дробь не изменилась, надо и числитель дроби умно­жить на 4 (на основании основного свойства дроби). Получим дробь . Теперь дроби и выражены в одинаковых долях. Их легко и сравнивать, и выполнять с ними действия.

Найти число, на которое нужно умножить меньший знамена­тель одной из дробей, можно делением большего знаменателя на меньший. Например, если 8 разделить на 2, то получим число 4. На это число нужно умножить и знаменатель, и числитель дроби. Значит, чтобы выразить в одинаковых долях несколько дробей, нужно больший знаменатель разделить на меньший, частное умно­жить на знаменатель и числитель дроби с меньшими знаменате-

лями. Например, даны дроби , и . Чтобы эти дроби привести к наименьшему общему знаменателю, нужно 12:6=2, 2x6=12,

306

2x1=2. Дробь примет вид . Затем 12:3=4, 4x3=12,

4x2 = 8. Дробь примет вид . Следовательно, дроби и примут соответственно вид , , - т.е. окажутся выражен­ными в одинаковых долях.

Проводятся упражнения, которые позволяют сформировать умения приведения дробей к общему наименьшему знаменателю.

Например, надо выразить в одинаковых долях дроби и , , , .

Чтобы учащиеся не забывали то частное, которое получается от деления большего знаменателя на меньший, целесообразно его

записывать над дробью с меньшим знаменателем. Например, и (5) . Можно также же предложить сравнить дроби и , и , и .

Затем рассматриваются такие дроби, у которых больший зна­менатель не делится на меньший и, следовательно, не является

общим для данных дробей. Например, и . Знаменатель 8 не

делится на 6. В этом случае больший знаменатель 8 будем после­довательно умножать на числа числового ряда, начиная с 2, до тех пор, пока не получим число, которое делится без остатка на оба знаменателя 8 и 6. Чтобы дроби остались равными данным, числители нужно соответственно умножить на те же числа. На-

пример, чтобы дроби и были выражены в одинаковых долях,

больший знаменатель 8 умножаем на 2(8x2=16). 16 не делится на 6, значит, 8 умножаем на следующее число 3(8x3=24). 24 делится на 6 и на 8, значит, 24 — общий знаменатель для данных дробей. Но чтобы дроби остались равными, числители их надо увеличить во столько же раз, во сколько раз увеличили знамена­тели, 8 увеличили в 3 раза, значит, и числитель этой дроби 3 увеличим в 3 раза. Дробь примет вид . Знаменатель 6 увеличили в 4 раза. Соответственно числитель 5 дроби надо увеличить в 4 раза. Дроби и примут соответственно вид и .

307

Таким образом, подводим учащихся к общему выводу (правилу) и знакомим их с алгоритмом выражения дробей в одинаковых долях.

Например, даны две дроби и .

1. Находим наименьший общий знаменатель: 7x2 = 14, 7x3=21, 7x4=28. 28 делится на 4 и на 7. 28 — наименьший общий знаме-

натель для дробей и .

2. Находим дополнительные множители: 28:4=7,

28:7=4.

3. Запишем их над дробями: (7) и (4).

3. Числители дробей умножим на дополнительные множители: 3x7=21, 5x4=20.

Получим дроби с одинаковыми знаменателями и . Значит, и мы привели к общему наименьшему знаменателю.

Опыт показывает, что ознакомление учащихся с преобразованием дробей целесообразно проводить перед изучением различных ариф­метических действий с дробями. Например, сокращение дробей или замену неправильной дроби целым или смешанным числом целесооб­разно дать перед изучением сложения и вычитания дробей с одина­ковыми знаменателями, так как в полученной сумме или разности придется делать либо одно, либо оба преобразования.

Например, + = = ; + = = 1 ; + = =1 = 1 .

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю лучше изучать с учащимися перед темой «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», а замену смешанного числа неправильной дробью — перед темой «Умножение и деление дро­бей на целое число».

Сложение и вычитание обыкновенных дробей