10 Свойства полей

Характеристика поля всегда   или простое число.

Поле характеристики   содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел  .

Поле простой характеристики   содержит подполе, изоморфное полю вычетов   .

Количество элементов в конечном поле всегда равно   — степени простого числа.

При этом для любого числа вида   существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из   элементов, обычно обозначаемое  .

Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.

В поле нет делителей нуля.

Примеры множеств, являющихся полями [править]

 — рациональные числа,

 — вещественные числа,

 — комплексные числа,

 — поле вычетов по модулю  , где   — простое число.

 — конечное поле из   элементов, где   — простое число,   — натуральное.

 — поле рациональных функций вида  , где   и   — многочлены над некоторым полем   (при этом  , а   и   не имеют общих делителей, кроме констант).

Числа вида  ,  , относительно обычных операций сложения и умножения.

11. Подполе. Простое поле. Множество M поля P называется подполем P, если оно само является полем при тех же операциях сложения и умножения, которые заданы в поле P. Тогда Pназывается надполем или расширением поля M.

     Так, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел, а последнее - подполем поля комплексных чисел.

     Теорема 5. Для того чтобы множество M поля P, содержащее не менее двух элементов, было подполем, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность, произведение и частное (если только оно существует в P) любых элементов из M снова принадлежали к M.

     Доказательство вполне аналогично проведенному для соответствующей теоремы о кольцах (теорема 4).

     Всякое подполе M поля P содержит 0 как разность a - a, где  , и единицу как частное  , где  , a ≠ 0.

     Теорема 6. Пересечение (в смысле пересечения множеств) любого множества надполей поля P опять является подполем поля P.

     Соответствующая теорема верна и для колец, т. е. пересечение любого множества подколец кольца R есть подкольцо кольца R. Доказательство ее вполне аналогично данному здесь для полей.

     Доказательство. Пусть {Ms} есть некоторое множество подполей, где индексы s образуют множество S и   - пересечение всех подполей Ms данного множества; 0 и 1 входят в каждое подполе Ms и, значит, в D. Итак, D содержит не менее двух элементов. Если a и b - элементы D, то они входят в каждое Ms и по теореме 5 a + b, a - b, ab, а при b ≠ 0 и   также входят в Ms, а значит, и в D. В силу теоремы 5 D - подполе поля P.

     Поле, не имеющее подполей, отличных от него самого, называется простым.

     Примерами простых полей могут служить поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю p.

     Любое подполе M поля P рациональных чисел содержит число 1, а значит, и все его кратные n · 1 = n, т. е. все целые числа, а значит, и все их частные, т. е. все рациональные числа. Итак, M= P, т. е. P - простое поле. Точно так же любое подполе M поля Cp вычетов по простому модулю p содержит класс (1), служащий единицей Cp, а значит, любой класс (r) как r-кратное класса (1). Итак, M = Cp, т. е. Cp - простое поле.

     Можно доказать, что этими полями в некотором смысле исчерпываются все простые поля.

     Теорема 7. Любое поле содержит простое подполе и притом только одно.

     Доказательство. Поле P вообще содержит подполя (например, само P). Пусть D есть пересечение всех подполей поля P. По теореме 6 D является подполем P и по самому определению входит в любое подполе. Пусть M - подполе D, отличное от D.

Из определения подполя следует, очевидно, что M будет подполем и для P, и D не входит в M, что невозможно. Итак, D - простое подполе P. Если D' - также простое подполе поля P, то пересечение   будет опять подполем поля P, причем   и  . Но из определения подполя следует, что в таком случае D" будет подполем как для D, так и для D', а так как Dи D' - простые подполя, то D = D" = D', чем доказана единственность простого подполя.

12 Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями   (аналог конъюнкции),   (аналог дизъюнкции), унарной операцией   (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

13 Позиционная и непозиционная системы счисления

Система счисления – это способ записи чисел. Обычно, числа записываются с помощью специальных знаков – цифр (хотя и не всегда). Если вы никогда не изучали данный вопрос, то, по крайней мере, вам должны быть известны две системы счисления – это арабская и римская. В первой используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и это позиционная система счисления. А во второй – I, V, X, L, C, D, M и это непозиционная система счисления.

В позиционных системах счисления количество, обозначаемое цифрой в числе, зависит от ее позиции, а в непозиционных – нет. Например:

11 – здесь первая единица обозначает десять, а вторая – 1. II – здесь обе единицы обозначают единицу.

345, 259, 521 – здесь цифра 5 в первом случае обозначает 5, во втором – 50, а в третьем – 500.

XXV, XVI, VII – здесь, где бы ни стояла цифра V, она везде обозначает пять единиц. Другими словами, величина, обозначаемая знаком V, не зависит от его позиции.

Сложение, умножение и другие математические операции в позиционных системах счисления выполнить легче, чем в непозиционных, т.к. математические операции осуществляются по несложным алгоритмам (например, умножение в столбик, сравнение двух чисел).

В мире наиболее распространены позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашли такие системы счисление как двоичная (используются цифры 0 и 1), восьмеричная и шестнадцатеричная.

Следует отметить, важную роль нуля. «Открытие» этой цифры в истории человечества сыграло большую роль в формировании позиционных систем счисления.

Основание системы счисления – это количество знаков, которое используется для записи цифр.

Разряд - это позиция цифры в числе. Разрядность числа - количество цифр, из которых состоит число (например, 264 - трехразрядное число, 00010101 - восьмиразрядное число). Разряды нумеруются справа на лево (например, в числе 598 восьмерка занимает первый разряд, а пятерка - третий).

Итак, в позиционной системе счисления числа записываются таким образом, что каждый следующий (движение справа на лево) разряд больше другого на степень основания системы счисления. (придумать схему)

Одно и тоже число (значение) можно представить в различных системах счисления. Представление числа при этом различно, а значение остается неизменным.