бинарные операции - нуждаются в двух аргументах справа и слева от знака операции. Все бинарные операции выполняются слева направо с учетом скобок. [1]

Бинарная операция на множестве - это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент этого же множества. Так, в группе А сложение есть бинарная операция на множестве целых чисел; в самом деле, если г и s - любые два элемента этого множества, то г 5 также является элементом этого множества. [2]

Бинарные операции обобщаются на случай векторов сетей за счет ассоциативности этих операций. [3]

Бинарные операции распространяются на случай матриц по следующему правилу просачивания: матрица, к которой применена бинарная операция, транспонируется, после чего операция применяется к каждой из векторных строк. [4]

Бинарная операция на множестве X называется ассоциативной, если ( а Ь) с а ( Ь с) для всех а, Ь, с Х; она называется коммутативной, если а b b а. Требования ассоциативности и коммутативности независимы. В самом деле, операция на Z, заданная правилом n m - п-т, очевидно, коммутативна, но ( 1 2) 3 ( - 1 - 2) 3 - ( - 1 - 2) - 3 05 4 1 ( 2 3), так что условие ассоциативности не выполняется. [5]

Бинарная операция, результат которой не зависит от расстановки скобок и порядка вычисления. [6]

Бинарная операция - это операция, для которой необходимы два операнда, например сложение, вычитание или умножение. [7]

Бинарные операции - это такие операции, которые берут два операнда и получают из них результат. [8]

Бинарная операция может быть перегружена как функция, не являющаяся элементом, с двумя аргументами, один из которых должен быть объектом класса или ссылкой на объект класса. [9]

Бинарная операция ( также используется термин групповая операция) на множестве G - это соответствие, при котором каждой упорядоченной паре элементов данного множества отвечает однозначно определенный элемент этого же множества. [10]

Бинарная операция, результат которой не зависит от расстановки скобок и порядка вычисления. [11]

Бинарная операция т на Д порождается операцией над случайными величинами, если выполнено следующее условие. Покажите, что ни арифметическое среднее ( F G) / 2, ни геометрическое среднее ( FG) 1 / 2 не порождены операциями над случайными величинами. [12]

Произвольная бинарная операция коммутативна ( или, что то же, для выполняется закон коммутативности), если в данной алгебраич. [13]

Бинарной операцией ( или просто операцией) называют отображение множества А в себя, которое каждой упорядоченной паре элементов ( а; 6) из множества А ставит в соответствие некоторый третий элемент ( образ пары элементов ( а; Ь)) из того же множества А. [14]

Если бинарная операция на X ассоциативна, то результат ее последовательного применения к п элементам множества X не зависит от расстановки скобок. [15]

Предметом рассмотрения в абстрактной алгебре являются произвольные множества с заданными на них операциями. При этом природа множеств и операций может существенно отличаться от привычных числовых множеств и известных операций над числами. Мы уже сталкивались с операциями над множествами и бинарными отношениями, которые оказались в чем-то похожими на операции над числами, но в то же время проявились и их существенные отличия.

В дискретной математике разрабатываются алгоритмы и вычислительные методы, позволяющие манипулировать сложно организованными нечисловыми структурами. Проблема работы с такими объектами возникла в связи с развитием современных информационных технологий и переходом от собственно вычислений (т.е. операций над числами) к обработке сложных структур данных. Так, проблемы программирования и машинного перевода привели к задачам работы с языковыми структурами, проблемы автоматизации проектирования — к задачам обработки графических объектов.

Современная дискретная математика проникнута алгебраическим духом, поскольку оказалось, что именно на алгебраической базе наиболее удобно разрабатывать общие подходы к работе с объектами различной природы.

Понятие алгебраической структуры

Множество векторов в пространстве с операцией сложения векторов, операцией векторного умножения, множество квадратных матриц с операциями сложения или умножения, множество функций с операцией сложения — вот примеры некоторых множеств с операциями, рассматривающихся в различных разделах математики. Выясним, что общего есть в свойствах операций на этих множествах и в чем их различие.

определение 2.1. Пусть   — произвольное непустое множество и   — натуральное число. Любое отображение   называют n-арной (или n-местной) операцией на множестве  .

Таким образом, согласно приведенному определению, n-арная операция и каждому кортежу   однозначно сопоставляет элемент  . Компоненты кортежа называют при этом аргументами операции  , а   — результатом применения операции и к аргументам  .

Для n-арной операции используют обозначение

 или  .

Обычно, если  , пишут  . При   и   говорят соответственно об унарной операции и бинарной операции.

Специально вводят понятие нульарной операции (т.е. для  ). Под нульарной операцией на множестве   понимают произвольный фиксированный элемент множества  . Нульарные операции позволяют фиксировать элементы множества  , обладающие некоторыми специальными свойствами. Примером выполнения нульарной операции является, например, фиксирование нуля в множестве целых чисел с операцией сложения. Примером унарной операции служит дополнение заданного множества до универсального множества.

Наиболее важными в алгебре и, следовательно, наиболее исследованными являются бинарные операции. Примерами таких операций могут служить сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов линейного пространства.

Рассмотрим бинарную операцию на множестве  , обозначив ее звездочкой  . Эту операцию называют:

1) Ассоциативной, если для любых ; 2) коммутативной, если для любых ; 3) идемпотентной, если для любого .

Ассоциативность операции   позволяет для любых элементов   однозначно трактовать результат выражения  , так как

Операция сложения, заданная на множестве натуральных чисел, является ассоциативной и коммутативной. Операция умножения матриц ассоциативна, но не коммутативна. Идемпотентными являются операции объединения и пересечения множеств.

Элемент   множества   называют левым (правым) нулем относительно данной операции  , если     для любого  .

Если   — левый нуль, а   — правый нуль, то они совпадают. Действительно, если   и   существуют, то они совпадают, так как  , и в этом случае говорят просто о нуле относительно операции. Из приведенных равенств следует, что нуль единственный и для него одновременно выполнены оба равенства   и  .

3.Группа

     Определение 1. Соответствие, в силу которого каждой паре a, b элементов множества M, взятых в данном порядке, соответствует единственный третий элемент с того же множества M, называется алгебраической операцией, определенной в M.

     Используя понятие функции, можно сказать короче, что алгебраическая операция, определенная во множестве M, есть функция, определенная на множестве всех упорядоченных пар элементов M, значения которой принадлежат M.

     Примерами алгебраических операций могут служить четыре арифметических действия: сложение a + b = c, вычитание a - b = c, умножение a * b = c, деление a : b = c, рассматриваемые хотя бы на множестве всех действительных чисел, причем в случае деления нужно исключить число 0, деление на которое не определено. Дальнейшими примерами являются сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, сложение векторов по правилу параллелограмма, сложение, вычитание и умножение многочленов и т. д.

     Как известно, две или более алгебраических операций могут быть связаны между собою переменой роли данных и искомых элементов. Так, если a + b = c, то c - a = b; если ab = c, то  . Эта связь операций выражает понятие обратной операции, которое в общем виде определяется так:

     Пусть дана операция, ставящая в соответствие паре элементов a, b из M элемент c. Те две операции, которые получатся из данной путем перемены в ней роли одного из элементов a, b и элемента c (одного из данных элементов с искомым), называются обратными для данной операции.

     Таким образом, первая обратная операция паре c, b ставит в соответствие a, а вторая - паре c, a ставит в соответствие b. Как хорошо известно, обратные операции не всегда существуют или не всегда единственны. Так, для натуральных чисел определены операции сложения и умножения, но обратные операции - вычитание и деление - не всегда выполнимы.

     Операция называется коммутативной, если ее применение к парам a, b и b, a всегда дает один и тот же результат. Ниже мы увидим, что если для коммутативной операции существует одна из обратных операций, то существует и другая и обе они совпадают. Для некоммутативной операции это уже неверно.