8.2. Квантование энергии электрона в магнитном поле. Уровни Ландау

Электрон, двигаясь по спирали вокруг силовой линии магнитного поля , совершает финитное движение в плоскости, перпендикулярной и инфинитное движение в направлении, параллельном . Следовательно энергия циклического движения (движения по окружности) в перпендикулярной плоскости квантуется, т.е. принимает дискретные значения, а в направлении вектора магнитной индукции энергия электрона может принимать любые значения. Действительно, уравнение окружности в параметрической форме имеет вид , , т.е. движение по окружности можно рассматривать как двумерный осциллятор с частотой . Поэтому энергию электрона в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, можно представить как энергию квантового гармонического осциллятора:

. (19)

Уровни энергии электрона в магнитном поле называются уровнями Ландау. Расстояние между уровнями Ландау не зависит от квантового числа . Подставляя (19) в (5), с учетом (4), получим формулу для квантового радиуса циклического движения электрона:

. (20)

Таким образом, каждому уровню Ландау соответствует определенное значение r_n, т.е. возникает картина пространственного квантования траектории электрона в магнитном поле. Впервые это было показано Л.Д.Ландау в 1930 г.

Полная энергия циклического и поступательного движения электрона в свободном пространстве под действием однородного магнитного поля будет иметь вид:

, (21)

где третье слагаемое учитывает спиновое расщепление уровней, – магнетон Бора, принимает значения в соответствии с двумя возможными направлениями спинового магнитного момента электрона: вдоль и против поля.

Для движения зонного электрона в кристалле, помещенного во внешнее магнитное поле соответственно имеем:

, (22)

– циклотронная частота движения электрона в кристалле, – циклотронная эффективная масса электрона, – эффективная масса одномерного движения электрона вдоль вектора , -фактор, равный двум для свободного электрона, а для электрона в металле -фактор может существенно отличаться от 2.

8.3. Квантовые осцилляционные эффекты

С ростом индукции внешнего магнитного поля будет расти расстояние между уровнями Ландау и при пересечении уровня Ландау и уровня Ферми произойдет «сбрасывание» электронов с уровня Ландау на уровень Ферми. При этом в линейно возрастающем магнитном поле будет периодически осциллировать плотность электронных состояний на уровне Ферми, а, следовательно, все физические свойства металла, связанные с электронами проводимости.

Квантовые осцилляционные эффекты разделяются на две группы: эффекты, связанные с осцилляциями термодинамического потенциала электронов в магнитном поле и эффекты, обусловленные периодическим изменением в магнитном поле времени релаксации электронов на поверхности Ферми.

К первой группе относятся осцилляции в магнитном поле магнитной восприимчивости (эффект де Гааза-ван Альфена), теплоемкости и других термодинамических параметров. Ко второй группе относятся осцилляции магнетосопротивления (эффект Шубникова-де Гааза), коэффициента Холла, теплопроводности и т.д. Для наблюдения квантовых осцилляционных эффектов необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

, .

При типичном значении циклотронной частоты  Гц, расстоянине между уровнями Ландау  эВ, что соответствует температуре ~1 К. Поэтому для наблюдения этих эффектов необходимы температуры  К.

Общая теория квантовых осцилляционных эффектов была построена И.М. Лифшицем и А.М. Косевичем в 1956 г. Эффекты де Гааза-ван Альфена и Шубникова-де Гааза в настоящее время являются одними из распространенных методов исследования поверхности Ферми. Изменяя направление магнитного поля и измеряя периоды осцилляции свойств можно в соответствии с теорией Лифшица-Косевича определить экстремальные сечения поверхности Ферми и корректировать ее форму, построенную теоретическими методами.

Контрольные вопросы

К г л а в е 1. Трансляционная симметрия кристалла

1. Дайте определение трансляционной симметрии кристаллов.

2. Перечислите параметры решетки.

3. Изобразите элементарные решетки простой кубической ОЦК и ГЦК решеток.

4. Перечислите кристаллические системы (сингоний).

5. Дайте определение дальнего и ближнего порядка моно- и поликристаллам, жидким кристаллам.

6. Вывести закон Вульфа-Брэггов.

7. Дать определение обратной решетки и зон Бриллюэна.

8. Поясните связь закона Вульфа-Брэггов с границами зон Бриллюэна.

9. В чем отличие идеального кристалла от реального?

10. Что произойдет с кристаллом при неограниченном росте плотности точечных дефектов и дислокаций?

11. Почему перемещение дислокаций вызывает необратимую деформацию кристаллов?

12. Объясните качественно кривую нагружения кристалла с дислокационных позиций.

13. Перечислите основные типы радиационных дефектов.

К г л а в е 2. Колебания атомов кристаллической решетки

1. Дайте определение гармонического и ангармонического приближения. Какие эффекты и явления в кристаллах прогнозируются в гармоническом и ангармоническом приближениях.

2. Напишите выражение для энергии одномерного гармонического осциллятора. Что такое нулевые колебания? Дайте определение фонона.

3. Какова геометрия акустических и оптических колебаний одномерного кристалла.

4. Считая известным закон дисперсии волн , определить частоту волны, при распространении которой вдоль цепочки соседние атомы колеблются в противофазе.

5. Вывести групповую скорость акустических колебаний, если закон дисперсии , где 0< k< .

6. Для чего вводятся нормальные координаты?

7. Что такое нормальные частоты кристалла?

8. Какова связь между фононом и упругой волной смещения?

9. В чем сущность метода квазичастиц в физике твердого тела?

10. Перечислите основные квазичастицы. Общее и различия между квазичастицами и частицами.

11. Поясните связь между методом квазичастиц и квантовой теорией поля.

К г л а в е 3. Квантовая теория теплоемкости Дебая

1. Почему фононы являются бозонами?

2. В рамках модели Дебая написать выражение для внутренней энергии трехмерного кристалла объемом V, имеющего температуру Т и содержащего N атомов. Скорость звука в кристалле равна и.

3. Поясните физический смысл температуры Дебая.

4. Приняв, что минимальная длина тепловых волн в кристалле нм, а скорость звука км/с оценить дебаевскую температуру .

5. В рамках модели Дебая получить выражение для полного числа фононов всех частот, возбуждаемых при температуре Т в кристалле, содержащем N атомов и характеризуемым температурой .

6. Вывести закон Дюлонга-Пти а) из классической теории теплоемкости,

б) из квантовой теории теплоемкости.

7. Как объяснить тепловое расширение кристаллов? Какие параметры межатомного взаимодействия обуславливают тепловое расширение?

8. Объясните природу теплового сопротивления кристаллов.

К г л а в е 4. Электронные состояния в кристалле

1. В чем заключается проблема многих тел?

2. В чем сущность адиабатического приближения?

3. С помощью каких приближений многочастичная задача в зонной

8. теории сводится к одночастичной?

4. В чем сущность приближения самосогласованного поля?

5. Сформулируйте теорему Блоха.

6. Поясните физический смысл функции Блоха.

7. Вывести теорему Блоха в двух формулировках.

8. Когда появилась первая работа по зонной теории? Кто ее автор?

9. Какими квантовыми числами характеризуется состояние электрона в кристалле?

10. В чем заключается основная задача зонной теории?

11. Собственными функциями каких операторов являются функции Блоха?

12. Перечислите законы сохранения для электрона в кристалле.

13. Дайте определение квазиимпульса.

14. В чем различие и сходство импульса и квазиимпульса?

15. С какими свойствами симметрии пространства или времени связаны законы сохранения импульса и квазиимпульса?

16. Вывести выражение для оператора квазиимпульса.

17. Какова связь между уравнением движения в форме Гейзенберга с законами сохранения в квантовой механике?

18. Напишите собственную функцию оператора импульса, нормированную на ящик. Поясните ее физический смысл.

19. Напишите собственную функцию оператора квазиимпульса и поясните ее физический смысл. Сопоставьте с собственной функцией оператора импульса.

20. Какое понятие является более общим: импульс или квазиимпульс? В каких случаях они совпадают?

21. Почему периодическое потенциальное поле не оказывает сопротивления движению электрона?

22. Докажите, что волновая функция, описывающая состояние электрона в кристалле, периодична в -пространстве с периодом, равным вектору обратной решетки.

23. Докажите, эквивалентность волновых функций и , где g-вектор обратной решетки.

24. Вывести все интегралы движения для электрона в идеальном кристалле в отсутствие внешнего поля.

25. Докажите, что в идеальном кристалле справедлив закон сохранения квазиимпульса.

26. В какой области пространства квазиимпульсов находятся все физически различные состояния электрона в кристалле?

27. Какое количество физически различных состояний существует в кристалле? Обоснуйте ответ.

28. Вывести выражение для объема пространства квазиимпульсов, приходящееся на одно состояние в кристалле, исходя из соотношения неопределенностей и из граничных условий Борна-Кармана .

29. Докажите, что квазиимпульс неоднозначен. Что означает приведение к первой зоне Бриллюэна?

30. Почему -пространство дискретно? Обоснуйте количественно связь этой дискретности с размерами кристалла.

К г л а в е 5. Элементы зонной теории кристаллов

1. Сформулируйте задачу в методе “сильной связи”.

2. Какой метод квантовой механики лежит в основе метода “сильной связи” в зонной теории?

3. Поясните качественно механизм расщепления атомного уровня в зону их общих соображений квантовой механики.

4. Вывести зонный спектр методом “сильной связи” без учета симметрии.

5. Какова роль дальнего и ближнего порядка в зонной теории?

6. Вывести зонный спектр методом “сильной связи” с учетом симметрии.

7. Что является причиной образования зонного спектра энергии электрона в твердом теле?

8. Какие типы энергетического спектра частицы Вам известны в квантовой механике и каковы условия их реализации?

9. Какие аспекты взаимодействия атомов отвечают за ширину разрешенной зоны?

10. Носит ли зонный характер спектр электронов в жидкостях, газах?

11. Классифицируйте кристаллы по проводимости в соответствии с зонными представлениями.

12. Вывести закон дисперсии электрона в одномерном кристалле методом “сильной связи”.

13. Пользуясь результатами метода “сильной связи” для одномерного кристалла, вывести закон дисперсии электрона в двух- , трехмерном кристалле.

14. Написать вековое уравнение теории возмущения в методе “сильной связи”, учитывая взаимодействие между ближайшими соседями.

15. Поясните качественно, как при конденсации атомов атомные уровни расщепляются в зоны. Приведите аналоги в природе.

16. Какую физику классическую или квантовую надо использовать для описания состояния электрона в металле? Сделайте количественные оценки.

17. Почему все кристаллы при всестороннем сжатии становятся металлами? Объясните с позиции зоной теории.

К г л а в е 6. Электронная теория металлов

1. Сформулируйте основные положения теории металлов Друде-Лоренца.

2. Объясните электрическое сопротивление металлов с точки зрения теории Друде-Лоренца.

3. Достоинства и недостатки классической теории металлов Друде-Лоренца.

4. Сформулируйте основные положения теории металлов Зоммерфельда. Какова связь теории с квантовой механикой?

5. Оцените скорость фермиевского электрона в трехвалентном металле с простой кубической решеткой с параметром a=0.4 нм. Сравните ее со скоростью звука, если температура Дебая =100 K.

6. Оценить какой статической, физикой, классической или квантовой описывается состояние частиц в протонной плазме с концентрацией частиц n=10¹⁸ м^-3 при температуре Т=10⁴ К.

7. Отсчитывая энергию от дна зоны проводимости, определить максимальную кинетическую энергию Т_max свободных электронов в металле. Концентрация электронов в образце n=10²² см^-3

8. Определите число одноэлектронных состояний в металле объемом V с энергиями в интервале от Е до Е+dЕ.

9. Получить выражение для плотности состояний электронного газа в основном состоянии в зависимости от величины энергии D(Е).

10. Вычислить полную энергию электронного газа в основном состоянии.

11. Вычислить среднюю энергию электрона в электронном газе в основном состоянии. Ответ выразить через энергию Ферми.

12. Написать выражение для распределения частиц идеального Ферми-газа, имеющего температуру Т, по одночастичным состояниям. Изобразите график.

13. Оценить импульс фермиевского электрона в двухвалентном металле с межатомными расстояниями a=0.5 нм и температурой Дебая _D=300К и сравните с импульсом дебаевского фонона. Концентрация свободных электронов в кристалле n=10¹⁸ м^-3.

14. Какой физикой, классической или квантовой, описывается состояние электрона в металле с электронной концентрацией n=10²³см^-3

15. Используя соотношение неопределенности, оценить объем пространства импульсов, приходящихся на одно электронное состояние в теории металлов Зоммерфельда.

16. Используя циклические граничные условия, оцените объем пространства импульсов, приходящийся на одно квантовое состояние в электронном газе объемом V.

17. Вычислить плотность состояний электронного газа в зависимости от энергии D(Е) для двумерного металла в модели Зоммерфельда.

18. Вычислить плотность состояний электронного газа в зависимости от энергии D(Е) для одномерного металла в модели Зоммерфельда.

19. Вычислить энергию Ферми двумерного двухвалентного металла с параметром решетки a=0.4 нм.

20. Вычислить энергию Ферми одномерного трехвалентного металла с параметром решетки a=0.5 нм.

21. Вывести зависимость от температуры теплоемкости электронного газа для двумерного одновалентного металла.

22. Вывести зависимость от температуры теплоемкости электронов для одномерного одновалентного металла.

23. Сформулируйте постановку задачи в методе “слабой связи”.

24. Поясните терминологию “слабая связь” и “сильная связь” в зонной теории кристаллов.

25. Почему в методе “слабой связи” для описания состояния электрона необходимо использовать квантовую механику? Сделайте количественную оценку.

26. Проведите аналогию между методом “слабой связи” и задачей о молекулярном ионе водорода.

27. Вычислить ширину запрещенной зоны кристалла методом “слабой связи”.

28. Изобразите графически закон дисперсии свободного электрона, свободного фонона, электрона в кристалле в методах “слабой” и “сильной связи”, а также фонона в одномерном кристалле.

29. Можно ли электрон в щелочном металле моделировать идеальным ферми-газом и почему? Сделайте количественные оценки.

30. Вывести формулу, связывающую скорость частицы с законом дисперсии в кристалле.

31. Перечислите интегралы движения частицы в периодическом потенциальном поле.

32. Приведите 10 примеров проявления туннельного эффекта в физике твердого тела.

33. Какие 5 явлений и законов в физике твердого тела можно объяснить, используя модель квантового осциллятора?

34. Дайте определение процессу рассеяния частиц.

35. Вывести уравнения, описывающие движение электрона в кристалле, помещенном во внешнее электромагнитное поле.

36. Что такое эффективная масса электрона? При каких условиях она бывает положительной, отрицательной и бесконечной?

37. В чем сущность метода эффективных масс?

38. Можно ли электрон в щелочноземельном металле моделировать идеальным ферми-газом? Сделать количественные оценки.

39. Какой моделью необходимо описывать состояние электронной подсистемы трехвалентного металла: ферми-газа или ферми жидкости? Сделать количественную оценку.

40. Почему электронный газ в металле является вырожденным. Что означает термин “вырождение”? Каков критерий вырождения?

41. Чем объясняется низкое значение теплоемкости электронного газа по сравнению с классическим газом?

42. Почему при включении постоянного напряжения в идеальном металлическом кристалле возникает переменный ток? От чего зависит частота этого тока? Сделать количественные оценки.

43. Оцените частоту колебаний электрона в металлическом образце размером 20см, к которому приложена постоянная разность потенциалов 10В при Т=0. Концентрация дефектов равна нулю.

44. Оцените амплитуду колебаний электрона в металлическом образце размером 1м, к которому приложена постоянная разность потенциалов 100 В при Т=0. Концентрация дефектов равна нулю.

45. Наблюдается ли колебательное движение электрона в металлическом образце размером 1м , к которому приложена разность потенциалов 5В при температуре Т=0; концентрация дефектов равна нулю?

46. Какой ток переменный или постоянный возникает в металлическом образце размером 2м , к которому приложена разность потенциалов 3В при температуре Т=0?

47. Вычислите частоту переменного тока в металлическом образце размером 1м, к которому приложена постоянное напряжение 4В при Т=0.

48. Определите качественно вклад электронной структуры металла в электропроводность.

49. Сравните качественно электропроводность двух металлов при данной температуре с одинаковой концентрацией электронов, но с различной электронной структурой.

50. В какой степени закон дисперсии фермиевских электронов определяет удельное сопротивление металла?

51. Чем обусловлено электрическое сопротивление металлов в теории Друде-Лоренца и современной квантовой теории металлов?

52. В чем заключается основная задача теории рассеяния?

53. Дайте определение процессу рассеяния электрона в кристалле.

54. Какова природа центров рассеяния?

55. Поясните физический смысл правила Матиссена.

56. Опишите качественно температурную зависимость металлов и полупроводников. В чем принципиальное различие? Ваши доводы поясните графиками.

57. Какова природа электрического сопротивления металлов?

58. Каков физический смысл длины свободного пробега электрона в металле?

59. Поясните качественно и количественно различие между длиной свободного пробега электрона при низких и высоких температурах металла.

60. Сопоставьте импульс дебаевского фонона и фермиевского электрона в двухвалентном металле с простой кубической решеткой.

61. Опишите качественно характер электрон-фононного взаимодействия в металле при высоких температурах, Т>. Сделайте необходимые количественные оценки.

62. Металлический образец сдеформировали на 2% относительной деформации и разгрузили. Изменится ли электрическое сопротивление образца и почему?

63. Опишите качественно характер электрон-фононного взаимодействия при низких температурах. Сделайте необходимые количественные оценки. Охарактеризуйте длину свободного пробега в этом случае.

64. Металлический образец сдеформировали одноосным сжатием на 0.2% относительной деформации и разгрузили. Изменится ли электрическое сопротивление образца и почему?

65. Металлический образец растянули нагрузкой, большей предела упругости, но меньшей предела текучести. Изменится ли электрическое сопротивление образца и почему?

66. Зависит ли электрическое сопротивление металлического образца от степени деформации сжатием на стадии упрочнения и почему?

67. Вывести зависимость от температуры электропроводности металлов при высоких температурах.

68. Вывести зависимость от температуры электропроводности металлов при низких температурах.

69. Какова связь физики сверхпроводников с энергетической проблемой?

70. Перечислите основные эффекты, выявляющие физическую природу сверхпроводимости металлов.

71. Кто и когда открыл явление сверхпроводимости металлов?

72. Кто и когда открыл явление сверхпроводимости керамики?

73. Какова максимальная критическая температура для металлов и керамики?

74. Дайте определение куперовским парам. За счет чего и при каких условиях они образуются?

75. Как объяснить сверхпроводимость металлов, используя понятие о куперовских парах?

76. Какой измерительный прибор основан на эффекте Джозефсона? Что он измеряет и по какому принципу?

77. Является ли сверхпроводящий переход фазовым переходом: а) первого рода, б) второго рода. Ответ обоснуйте.

К г л а в е 7. Полупроводники

1. Докажите, что носители заряда в полупроводнике образуют классический, а в металле – квантовый ферми-газ.

2. Какие кристаллы называют полупроводниками и почему?

3. Сравните электропроводность чистого германия при -40 ºС и -100 ºС, если ширина запрещенной зоны 0.72 эВ.

4. Вычислите энергию Ферми для собственного полупроводника, выразив ее через ширину запрещенной зоны и эффективные массы электронов и дырок.

5. Найти минимальную энергию образования пары электрон-дырка в собственном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз при увеличении температуры от Т₁=300 К до Т₂=400 К.

6. Какой статистикой описываются электроны и дырки в полупроводнике, классической или квантовой? Ответ обоснуйте оценками.

7. Вывести формулу для равновесной концентрации электронов в собственном полупроводнике.

8. Вывести формулу для равновесной концентрации дырок в собственном полупроводнике.

9. Почему атом иновалентной примеси дает локальный уровень в запрещенной зоне полупроводника?

10. Поясните качественно, почему вакансия дает локальный уровень в запрещенной зоне полупроводника? Какой это уровень: донорный или акцепторный?

11. Поясните качественно, почему дислокация дает локальный уровень в запрещенной зоне полупроводника? Какой это уровень: донорный или акцепторный?

12. Поясните качественно, почему поверхность дает локальный уровень в запрещенной зоне полупроводника.

13. Что такое прыжковая проводимость, при каких условиях она наблюдается?

14. Чем обусловлена собственная проводимость полупроводников?

15. Чем обусловлена примесная проводимость полупроводников?

16. Какова физическая природа электрического пробоя полупроводников?

17. Какова природа пробоя Зинера?

18. Поясните качественно влияние примесей и дислокаций на электрическую прочность полупроводника.

19. В чем сущность эффекта Холла? Какую информацию о полупроводнике можно извлечь, исследуя этот эффект?

20. В чем сущность циклотронного резонанса? Какую информацию о полупроводнике он несет?

21. Чем обусловлено образование запрещенного слоя в p-n переходе?

22. Дайте объяснение односторонней проводимости p-n перехода.

23. Перечислите основные экспериментальные метода исследования электронной структуры кристаллов.

24. Кто и когда изобрел транзистор?

25. Перечислите полупроводниковые приборы, использующие p-n переход.