6.3. Температура Ферми. Критерий вырождения ферми-газа

Энергия Ферми (4) значительно превышает среднюю тепловую энергию, приходящуюся на одну частицу. При температуре  К эта энергия составляет величину  эВ, что на два порядка меньше граничной энергии Ферми. Это означает, что в тепловом движении участвуют не все электроны металла как в классическом газе, а лишь небольшая часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми.

При комнатной температуре количество тепловых электронов составляет около 1% всех электронов в зоне проводимости. Такое состояние электронного газа называется вырожденным, так как его свойства значительно отличаются от свойств классического газа.

Для того, чтобы все электроны участвовали в тепловом движении средняя энергия теплового движения, приходящаяся на один электрон, должна превысить энергию Ферми, а следовательно температура электронного газа – превысить так называемую температуру Ферми

. (5)

Подставляя типичное значение энергии Ферми  эВ Дж, получим типичные значения температуры Ферми  К, что значительно превышает температуру плавления металлов. Поэтому электронный газ в металле вплоть до температуры плавления находится в вырожденном состоянии, так как при любой температуре кристаллического металла выполняется условие

, (6)

которое называют критерием вырождения электронного газа.

6.4. Электронная теплоёмкость металла

Вследствие вырожденного состояния электронного газа его свойства, как отмечалось, существенно отличаются от свойств классического газа. В частности, энергия теплового движения одного моля классического газа равна , а молярная теплоёмкость соответственно:

, (7)

где – число Авогадро, – универсальная газовая постоянная. Теплоёмкость металла, однако, не подчиняется формуле (7). Эксперимент показывает, что при температуре выше температуры Дебая теплоёмкость металла определяется законом Дюлонга-Пти , а при криогенных температурах теплоёмкость линейно растет с температурой, а не по закону Дебая , который хорошо объясняет температурную зависимость теплоёмкости диэлектриков.

Поскольку энергия Ферми значительно превышает тепловую энергию электронов металла при любой температуре , то в k-пространстве область тепловых возбуждений электронного газа находится в тонком шаровом слое радиусом и толщиной вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми таким образом является «каркасом» возбужденных электронных состояний в пространстве волновых векторов.

Электронную теплоёмкость электронного газа можно представит в виде произведения классической теплоёмкости , которая предполагает участие в тепловом движении всех электронов газа, на долю электронов , реально участвующих в тепловом движении при заданной температуре, т.е.:

. (7)

Рис. 6.3. Область тепловых электронных состояний в k-пространстве. Сплошные линии  изоэнергетические поверхности, соответствующие уровням и , а штриховая линия обозначает поверхность Ферми

Долю тепловых электронов можно приблизительно оценить как отношение объёма шарового слоя, в котором находится квантовые состояния тепловых электронов, к объёму k-пространства, занимаемого системой, т.е. объёму, ограниченному поверхностью Ферми:

. (8)

Выражение (8) можно записать в энергетической форме. Для этого используем закон дисперсии электронов , откуда получим

, (9)

. (10)

Подставляя эти формулы в выражение (8), получим:

. (11)

Как видно из рис. 6.3., область тепловых возбуждений . Поэтому доля тепловых электронов с учетом определения температуры Ферми как будет определяться простой формулой

. (12)

Подставим (12) в выражение для теплоёмкости электронов (7) и получим

. (13)

Более строгий расчет дает следующую формулу для молярной электронной теплоёмкости металла

. (14)

Таким образом, электронная теплоёмкость металла линейно растет с температурой. Решеточная теплоёмкость при криогенных температурах определяется законом Дебая , а при температурах выше дебаевской – законам Дюлонга-Пти: . Поэтому при низких температурах электронная теплоёмкость металла дает основной вклад в теплоёмкость металла, а при высоких температурах электронный вклад определяется небольшой добавкой к решеточной, которая составляет величину решеточной теплоёмкости.

Рис. 6.4. Температурные зависимости электронной и решеточной теплоёмкостей в области низких температур