5.1.2. Метод сильной связи с учётом симметрии кристалла

Рассмотрим одномерный одноатомный кристалл, т.е. с одним атомом в элементарной ячейке. Положения атомных ядер в одном кристалле определяется вектором решётки R_l=la, где а – межатомное расстояние, l=1,2…N_ат. Волновая функция электрона определяется относительным расстоянием между электроном и ядром . Из теоремы Блоха следует, что

, (8)

где k – квазиволновой вектор электрона, откуда

. (9)

В общем случае состояние электрона в кристалле определяется суммой блоховских состояний

. (10)

Сумма (10) представляет разложение (4) с учётом теоремы Блоха. Атомными орбиталями являются функции а коэффициентами разложения с_l являются множители вида .

Для того, чтобы использовать решения предыдущего параграфа вычислим сначала в выражении ( ) правую часть

Перепишем ( ) в виде:

. (11)

В сумме в правой части этого уравнения выделим слагаемое с :

. (12)

Диагональные матричные элементы оператора возмущения есть среднее значение потенциальной энергии взаимодействия электрона с полем соседних атомов. В методе сильной связи учитывается влияние только ближайших соседей. Так как в кристалле расстояние между соседними атомами одинаково, то эта средняя энергия не зависит от номера атома , т.е. . Поэтому расщепление уровня в разрешённую зону при сближении атомов будет полностью определяться недиагональными матричными элементами оператора возмущения , которые в одномерном случае имеют вид .

В приближении ближайших соседей , а отличными от нуля матричными элементами принимаются , которые зависят только от расстояния между ближайшими соседями, т.е. от межатомного расстояния, а и поэтому не зависят от номера l. С учётом этих приближений выражение для уровня энергии электрона в кристалле принимает вид

. (13)

В одномерном случае и приближении ближайших соседей сумма в правой части (13) состоит из двух слагаемых: . Поэтому зависимость энергии электрона от квазиволнового вектора, т.е. закон дисперсии зонного электрона, принимает вид

. (14)

Таким образом, под действием возмущения со стороны ближайших соседних атомов по решётке атомный уровень смещается на величину и расщепляется в зону шириной 4V(a), определяемой недиагональными матричными элементами оператора межатомного взаимодействия . Взаимодействие электрона с ионами кристаллической решётки носит характер притяжения, поэтому <0 и V(a)<0. На рис. 5.1. показана зависимость E(k), отсчитанная от минимального значения энергии в первой зоне Бриллюэна.

Рис. 5.1. Закон дисперсии зонного электрона в методе сильной связи

Для кристалла конечных размеров k-ось дискретна: на одно квантовое состояние приходится отрезок, равный , где – размер кристалла вдоль оси . Все физически различные состояния находятся в первой зоне Бриллюэна, т.е. в интервале значений квазиволнового вектора от до . Количество таких состояний равно числу элементарных ячеек кристалла N_яч (см. § 4.6.). Из-за симметрии закона дисперсии относительно центра зоны Бриллюэна E(k)= E(-k), каждый уровень энергии в зоне одномерного кристалла двукратно вырожден и следовательно число уровней в зоне вдвое меньше, т.е. N_яч/2.