Лабораторна робота № 2 Рішення трансцендентних рівнянь чисельними методами в середовищі Mathcad
Мета роботи: навчитися застосовувати засоби та вбудовані функції Mathcad для знаходження коренів трансцендентних рівнянь.
1. Короткі теоретичні відомості
Трансцендентними називають рівняння, що містять трансцендентні функції (ірраціональні, логарифмічні, показові, тригонометричні і зворотні тригонометричні) від невідомого (змінного), наприклад рівняння:
Вирішення завдання наближено визначуваних коренів рівняння складається з двох етапів:
1.Відділення
корнів, знаходження над інтервалами
на відрізку
які
містять тільки один корінь рівняння;
2.Уточнення коренів, безпосереднє обчислення значень коренів на знайдених над інтервалом заданою точністю .
Для реалізації ітераційного методу має бути задане початкове наближення, точність з якою потрібно знайти рішення рівняння.
Умови закінчення ітераційного процесу:
Метод половинного ділення (або дихотомій).
В
основі лежить розподіл відрізка
на якому відділений корінь рівняння
навпіл. Ітераційна формула для обчислення
послідовного наближення має вигляд:
На кожній ітерації відрізок зменшується у два рази і вибирається та його половина:
Якщо
то
Якщо
то
Якщо
то
Метод простих ітерацій.
Будь-який
вираз
ми можемо перетворити
.
Сутність
методу полягає в наступному, задається
початкове наближення
і
підставляється в праву частину рівняння
.
в
результаті отримуємо наближене значення
кореня на першій ітерації. На другій
ітерації отримуємо значення
знову
підставляємо в праву частину рівняння
Загальна формула:
2. Вирішення трансцендентних рівнянь за допомогою засобів Mathcad
Для
знаходження коренів рівняння
,
де
-
функція довільного виду, використовується
функція root, яка має наступний синтаксис
.
Функція визначає значення змінної х, що лежить в інтервалі , при якому функція звертається в нуль. У загальному випадку, функція може бути функцією багатьох змінних.
Функція root може бути викликана і без вказівки інтервалу , але в цьому випадку змінної х необхідно попередньо привласнити деяке початкове значення (тобто задати початкове наближення). У цьому випадку для уточнення кореня використовується метод січних.
Точність
обчислень у Mathcad задається вбудованою
змінною
TOL. За
замовчуванням
її значення дорівнює 0,001. Це значення
можна змінити або через меню Math / Options /
Built-In Variables або безпосередньо в тексті
документа, наприклад:
.
Як
приклад знайдемо корені рівняння
.
Для початку зобразимо графік функції
на
інтервалі
.
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок.2.1- приклад знайдених коренів
На
заданому інтервалі функція два рази
звертається в нуль, тобто рівняння має
два кореня. Уточнимо їх за допомогою
функції root з точністю
.
В
принципі, функція
повинна
знаходити корінь, найближчий до
початкового наближення
x. Нажаль, це не завжди так. Якщо початкове
наближення вибране невдало і значення
похідної
в
цій точці близько до нуля, знайдений
корінь може бути не найближчим до
початкового наближення.
Якщо рівняння не має дійсних коренів, тобто функція ніде не дорівнює нулю, то Mathcad виводить комплексне число.
Якщо в рівнянні немє кількох коренів, то для їх знаходження можна використовувати розкладання на прості множники:
Де
- корені рівняння. Початкове наближення
можна задати тільки для першого кореня.
В якості функції
можна
взяти
Де
і
т.д.(рис.2.2
)
Рисунок. 2.2- Визначення трьох коренів рівняння
Якщо
функція
має
малий нахил поблизу шуканого кореня,
то функція
може
сходиться до значення, досить далеко
відстоїть від кореня. У такому випадку
для уточнення кореня необхідно зменшити
значення похибки обчислень, що задається
вбудованої змінної TOL. Для
цього:
У стандартному меню Mathcad виберіть команду Tools → Worksheer Options → Built - in → Variables (Інструменти → Параметри документів → Вбудовані змінні).
У вікні, поміняйте значення Convergence Tolerance (TOL) (похибка збіжності).
Чим менше константа TOL, тим ближче до нуля буде значення функції при знайденому корені рівняння, але тим більше буде час обчислення кореня.
Для підвищення точності розрахунку кореня можна замінити на
.
Корень можно найти по графику, увеличив масштаб, для этого необходимо:
• Виділити графік, клацнувши лівою кнопкою миші всередині графіка.
• У головному меню Mathcad вибрати команду Format → Graph → Zoom (Формат → Графік → Масштаб).
• При натиснутій лівій кнопці миші обвести пунктирною лінією область графіка поблизу шуканого кореня, яку треба збільшити.
• У відкритому вікні X-Y Zoom натиснути кнопку Zoom.
Прямо з графіка можна передати в буфер обміну чисельне значення кореня.
Для цього виконайте такі дії:
• Виділіть графік, клацнувши лівою кнопкою миші всередині графіка.
• У головному меню Mathcad вибрати команду Format → Graph → Trace (Формат → Графік → Трасування).
• Клацніть лівою кнопкою миші всередині графіка - з'явиться перехрестя осей.
• Рухаючи мишу при натиснутій лівій кнопці, встановіть перехрестя на перетин графіка з віссю абсцис. При цьому чисельні значення координат перехрестя з'являються у відкритому вікні X-Y Trace.
• Правильно вибравши положення перехрестя, натисніть кнопки Copy X і Copy Y - чисельні значення будуть поміщені в буфер.
• Поза полем графіка запишіть ім'я, яке дати пні, і оператор привласнення: =. Натисніть кнопку Paste (вставити) в стандартному меню Mathcad або в контекстному меню, що відкривається при натисканні правої кнопки
миші.
Рисунок.2.3- Визначення кореня рівняння за графіком