4.4. Интервальные оценки дисперсии нормального распределения

Как и при построении интервальных оценок для математического ожида­ния, в данном случае также необходимо определить случайную величину, распределение которой было известно и включало оцениваемый параметр . В соответствии с теоремой 4.1 такой отправной точкой для построения доверительного интервала может быть случайная величина , распределенная по закону ² с степенями свободы. Заметим, что доверительные интервалы, построенные для параметра , вообще говоря, можно было выбрать несимметричными относительно и это не противоречило бы определению интервальной оценки. Но такой выбор интервала, когда в его середине лежит состоятельная и несмещенная оценка параметра, являлся предпочтительным. В данном случае целесообразно выбрать два предела и так, что

,

где – надежность интервальной оценки.

Следовательно, – квантиль -распределения уровня , – уровня . Тогда имеет место равенство , а интервал

(4.16)

является интервальной оценкой для надежности .

Так как , то и интервал

(4.17)

является также интервальной оценкой для дисперсии ² надежности .

Заметим, что границы интервалов (4.16), (4.17) являются случайными величинами (почему?) и с вероятностью можно утверждать, что интервалы (4.16), (4.17) накроют неизвестную дисперсию .

♦ Пример 4.3. По выборке объема п = 20 из нормально распределенной генеральной совокупности вычислено значение дисперсии выборки . Построить интервальную оценку для параметра ² надежности  = 0.96.

Решение. Значения , находим из условий:

Эти условия означают, что есть квантиль ²-распределения с 19 степенями свободы уровня 0.02, а – квантиль уровня 0.98. По табл. П3 квантилей ²-распределения находим

; .

Тогда интервальная оценка (4.16) принимает вид

.

Подставляя вычисленное значение случайной величины , получаем

☻

4.5. Интервальная оценка вероятности события

В п. 3.4 было показано, что "хорошей" точечной оценкой вероятности р события является частность (см. (3.17)), где п – общее число независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р, а m – число испытаний, в которых произошло событие А.

Зададимся надежностью интервальной оценки и найдем числа , такие, чтобы выполнялось соотношение

. (4.18)

Интервальную оценку построим для двух случаев: когда число испытаний п сравнительно велико и для малого числа испытаний.

Интервальная оценка вероятности при большом числе испытаний. Если , то распределение случайной величины можно аппроксимировать нормальным распределением . Следовательно, при этих же условиях распределение величины близко к нормальному с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е.

.

По аналогии с (4.8) найдем такое число x_ , для которого справедливо равенство

. (4.19)

Это число является корнем уравнения

,

где – функция Лапласа, и корень может быть найден с помощью табл. П1.

Неравенство, стоящее в скобках выражения (4.19), разрешим относительно р. Для этого неравенство перепишем в виде эквивалентного неравенства . Возведем в квадрат, в результате получим . Далее, возведя в квадрат и перенеся все члены влево, получим

.

Корни и квадратного трехчлена, стоящего в правой части неравен­ства, определяются выражениями

(4.20)

. (4.21)

Корни этого уравнения и являются границами интервальной оценки (4.18)

. (4.22)

Если п >> 100, то для вычисления можно использовать приближенные формулы:

(4.23)

Видно, что границы интервала (4.18) являются случайными величинами и конкретные значения границ получаются в результате подстановки наблю­даемого значения случайной величины р*.

♦ Пример 4.4. Событие А в серии из п = 100 испытаний произошло т = 78 раз. Построить интервальную оценку для вероятности р события с надежностью .

Решение. Значение точечной оценки вероят­нос­ти р равно . По табл. П1 определяем и вычисляем по формулам (4.20), (4.21) значения при . Таким образом, получили реализацию доверительного интервала (0.705, 0.848) для вероятности р события А. ☻

Интервальная оценка вероятности при малом числе испытаний. При малом числе испытаний п предположение о приближенном распределении случайной величины m по нормальному закону становится несправедливым. Для описания распределения величины необходимо использовать формулу Бернулли:

.

Можно показать, что граничные точки интервальной оценки (4.18) являются решениями следующих нелинейных уравнений:

; (4.24)

, (4.25)

где – надежность интервальной оценки. Вновь заметим, что решения этих уравнений являются случайными величинами (почему?) и только при подстановке конкретного значения т (количество испытаний, в которых появилось событие А) будут получены конкретные значения граничных точек интервальной оценки (4.18).

Корни уравнений (4.24), (4.25) могут быть найдены одним из известных численных методов решения нелинейных уравнений. Кроме этого, существуют специальные таблицы для нахождения , удовлетворяющих уравнениям (4.24), (4.25) по заданным . Фрагмент этих таблиц представлен в приложении (табл. П4).

♦ Пример 4.5. В пяти испытаниях событие А произошло три раза. Построить интервальную оценку для вероятности р события А с надежностью .

Решение. Из условий примера имеем п = 5, m = 3, = 0.95. По табл. П4 находим , а интервальная оценка определяется как (0.147,0.947).

Сравнивая интервальные оценки примеров 4.4, 4.5, видим, что длина доверительного интервала для примера 4.5 (равная 0.8) существенно больше длины доверительного интервала примера 4.4 (0.143). Это является следствием разного объема выборок (n = 5 и n = 100) и различных дисперсий случайной величины . ☻