3.6. Вычисление точечных оценок в Excel

Вычисление исправленной дисперсии. В п. 3.3 показано, что оценка

(3.28)

является несмещенной точечной оценкой для дисперсии случайной величины, и такую оценку часто называют исправленной дисперсией.

Для вычисления выборочного значения этой оценки можно использовать статистическую функцию Excel ДИСП, обращение к которой имеет вид:

=ДИСП(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числа или адреса ячеек, содержащих числовые величины.

♦ Пример 3.6. По выборке примера 2.3 вычислить оценку (3.28).

Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки (рис. 3.3). Затем, используя функции КВАДРОТКЛ, ДИСП (как показано на рис. 3.3), вычислим оценку (3.28). Видно ожидаемое совпадение двух вычисленных значений. ☻

Рис. 3.3. Фрагмент вычисления исправленной дисперсии

Вычисление оценок максимального правдоподобия. В п. 3.5 были рассмотрены оценки, вычисляемые из условия максимума функционала правдоподобия. В приведенных примерах из условий максимума были получены алгебраические уравнения, решения которых определялись достаточно просто.

В общем случае не удается получить таких простых соотношений и оценки вычисляются непосредственным определением точек максимума функционала правдоподобия, т.е. необходимо решить оптимизационную задачу.

Для решения такой задачи в Excel есть команда Поиск решения пункта меню Сервис. Эта команда позволяет решать не только задачи безусловной оптимизации, но и задачи условной оптимизации, т.е. когда ищется максимум функционала с учетом дополнительных ограничений на значения искомых оценок. Например, значение дисперсии не может быть отрицательным.

Применение команды Поиск решения для вычисления оценок максимального правдоподобия покажем на следующем примере.

♦ Пример 3.7. По выборке примера 2.3 вычислить оценки максимального правдоподобия для математического ожидания и дисперсии из условия максимума функционала правдоподобия вида:

, (3.29)

предполагая при этом, что выборка порождена случайной величиной, подчиняющейся нормальному распределению.

Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки (диапазон А3:А57). Затем в ячейку С8 занесем произвольное значение (например, 10), в ячейку D8 – значение (например, значение 4 > 0), в ячейке Е8 вычислим . В ячейках В3:В57 запрограммируем вычисление разностей (рис. 3.4). В ячейке С5 запрограммируем вычисление величины функционала (3.29). В верхней части документа на рис. 3.4 показана запрограммированная формула.

После этих подготовительных операций можно перейти к выполнению команды Поиск решения. Для этого необходимо обратиться к пункту основного меню Сервис и в появившемся меню щелкнуть мышью на команде Поиск решения. Затем в появившемся диалоговом окне выполнить следующие действия (см. рис. 3.4):

• в поле ввода Установить целевую ячейку: ввести адрес ячейки, в которой вычисляется значение минимизируемого функционала (в нашем примере С5);

• включить опцию Равной: максимальному значению (ищутся значения, при которых функционал достигает максимального значения);

• в поле Изменяя ячейки: ввести адреса ячеек, в которых находятся значения искомых оценок (в нашем примере это ячейки С8:D8);

• щелкнув мышью на кнопке Добавить, сформировать ограничения на значения искомых оценок (в нашем примере это требование , чтобы не был равен –).

Рис. 3.4. Задание параметров команды Поиск решения

После выполнения этих операций щелкнуть на кнопке Выполнить. Начинается поиск решения введенной оптимизационной задачи. Спустя некоторое время на экране появится новое диалоговое окно Результаты поиска решения (рис. 3.5). Для сохранения найденных значений оценок в соответствующих ячейках необходимо включить опцию Сохранить найденное решение и щелкнуть на кнопке ОК.

Рис. 3.5. Результаты выполнения команды Поиск решения

Из рис. 3.5 видно, что вычисленные значения оценок находятся в ячейках С8, D8 и равны а = 17.907,  = 2.933. Ячейка С5 содержит значение максимизируемого функционала, равное –137.22. Сравнивая вычисленные значения оценок и с выборочными оценками примера 2.11 (см. рис. 2.7), видим их полное совпадение. ☻

Задание 3.1. Предполагая, что выборка примера 2.1 порождена случайной величиной, имеющей показательное распределение (3.21), вычислить оценку максимального правдоподобия для параметра , используя команду Поиск решения.

Рекомендация. Оценку максимального правдоподобия осуществлять из условия максимума функционала

при ограничении . При вызове команды Поиск решения использовать пример 3.7. ♥

Функции Excel для вычисления других точечных оценок.

Для вычисления среднеквадратичных отклонений можно использовать следующие функции Excel.

Функция СТАНДОТКЛОН вычисляет

.

Обращение к ней имеет вид:

=СТАНДОТКЛОН(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.

Функция СТАНДОТКЛОНП вычисляет

.

Обращение к ней имеет вид:

=СТАНДОТКЛОНП(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.

Функция ЭКСЦЕСС вычисляет оценку

для характеристики эксцесс , которая определяет островершинность или плосковершинность плотности распределения.

Обращение к функции имеет вид:

=ЭКСЦЕСС(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.

Функция МОДА вычисляет наиболее часто встречающееся значение в заданных аргументах функции, т.е. значение, встречающееся в выборке с максимальной частотой.

Обращение к функции имеет вид:

=МОДА(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.

Если в заданных значениях аргументов нет повторяющихся значений, то функция возвращает признак ошибки #Н/Д.

Функция МЕДИАНА вычисляет значение выборки, приходящееся на середину упорядоченной выборочной совокупности. Если выборка имеет четное число элементов, то значение функции будет равно среднему двух значений, находящихся по середине упорядоченной выборочной совокупности. Например, медиана выборки (200, 236, 250, 305, 337, 220) будет равна (236 + 250) / 2 = 243.

Обращение к функции имеет вид:

=МЕДИАНА(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.

Функция СКОС вычисляет оценку

для характеристики асимметрии , которая для симметричной плотности распределения равна 0.

Обращение к функции имеет вид:

=СКОС(арг1; арг2; …; арг30),

где арг1; арг2; …; арг30 – числовые константы или адреса ячеек, содержащих числовые данные.

Вычисление описательных статистик. Описательные статистики можно разделить на следующие группы:

• характеристики положения описывают положение данных на числовой оси (среднее, минимальное и максимальное значения, медиана и др.);

• характеристики разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра (дисперсия, размах выборки, эксцесс, среднеквадратическое отклонение и др.);

• характеристики асимметрии определяют симметрию распределения данных относительно своего центра (коэффициент асимметрии, положение медианы относительно среднего и др.);

• характеристики, описывающие закон распределения (частоты, относительные частоты, гистограммы и др.).

Основные характеристики положения, разброса и асимметрии можно вычислить, используя режим Описательная статистика команды Пакет анализа.

Для вызова режима Описательная статистика необходимо обратиться к пункту Сервис, команде Пакет анализа, выбрать в списке режимов Описательная статистика и щелкнуть на кнопке ОК. В появившемся диалоговом окне Описательная статистика задать следующие параметры (рис. 3.6):

Входной интервал: – адреса ячеек, содержащих элементы выборки.

Группирование: – задает способ расположения (по столбцам или по строкам) элементов выборки.

Метки в первой строке – включается, если первая строка (столбец) во входном интервале содержит заголовки.

Рис. 3.6. Параметры режима Описательная статистика

Выходной интервал: / Новый рабочий лист: / Новая рабочая книга – определяет место вывода результатов вычислений. При включении Выходной интервал: в поле вводится адрес ячейки, начиная с которой будут выводиться результаты.

Итоговая статистика: – включается, если необходимо вывести по одному полю для каждой из вычисленных характеристик.

Уровень надежности: – включается, если необходимо вычислить доверительный интервал для математического ожидания с задаваемым ( ) уровнем надежности .

К-й наименьший: – включается, если необходимо вычислить к-й наименьший (начиная с ) элемент выборки. При к = 1 вычисляется наименьшее значение.

К-й наибольший: – включается, если необходимо вычислить к-й наибольший (начиная с ) элемент выборки. При к = 1 вычисляется наибольшее значение.

Пример задания параметров приведен на рис. 3.6.

Результаты работы режима Описательная статистика выводятся в виде таблицы, в левом столбце которой приводится название вычисленной характеристики (рис. 3.7), позволяющее однозначно трактовать характеристику. Тем не менее, поясним следующие названия характеристик:

• Интервал – определяет размах выборки ;

• Сумма – определяет сумму всех элементов выборки;

• Счет – определяет число обработанных элементов выборки;

• Уровень надежности – определяет величину , от которой зависит доверительный интервал для математического ожидания, имеющий вид

,

где – выборочное среднее (подробнее см. п. 4.3).

♦ Пример 3.8. По выборке примера 2.3 вычислить описательные статистики, используя режим Описательная статистика.

Решение. Первоначально, начиная с ячейки А3, введем в столбец А 55 элементов выборки. После этого обратимся к пункту Сервис, команде Пакет анализа. В списке режимов выберем Описательная статистика. В появившемся диалоговом окне включим параметры, показанные на рис. 3.6, и щелкнем ОК. Вычисленные характеристики приведены на рис. 3.7. ☻

Рис. 3.7. Результаты работы Описательная статистика

Задание 3.2. Сравните значения характеристик (см. рис. 3.7) со значениями аналогичных характеристик, вычисленных в предыдущих примерах. ♥