Виды треугольников

  Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу. Δ ABC и Δ DEF разносторонни треугольники.    Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Δ PKM – равносторонний треугольник.  На сторонах треугольника ставят черточки, чтобы графически показать равные и различные по длине стороны треугольника. Если число черточек на сторонах треугольника совпадает, то эти стороны равны. PK=PM=KM.    Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.

Равенство треугольников

  Два треугольника называются равными (Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, C1A1=C2A2 и ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2, ∠ A1B1C1 = ∠ A2B2C2, ∠ B1C1A1 = ∠ B2C2A2.  Равные углы обычно графически отмечают одной, двумя или тремя дужками.  Аксиома  Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. 

Высота треугольника Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.    B1D1 – высота треугольника A1B1C1, опущенная из вершины B1. B2D2 – высота треугольника A2B2C2, опущенная из вершины B2.  Биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.    EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH.  Медиана треугольника Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.    RX – медиана угла SRT. SX = XT.

Равенство треугольников

  Два треугольника называются равными (Δ A1B1C1 = Δ A2B2C2), если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. A1B1=A2B2, B1C1=B2C2, C1A1=C2A2 и ∠ B1A1C1 = ∠ B2A2C2, ∠ A1B1C1 = ∠ A2B2C2, ∠ B1C1A1 = ∠ B2C2A2.  Равные углы обычно графически отмечают одной, двумя или тремя дужками.  Аксиома  Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. 

Высота треугольника

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины, к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.    B1D1 – высота треугольника A1B1C1, опущенная из вершины B1. B2D2 – высота треугольника A2B2C2, опущенная из вершины B2. 

Биссектриса треугольника

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой противолежащей стороны.    EG – биссектриса угла FEH. ∠ FEG = ∠ GEH. 

Медиана треугольника

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.    RX – медиана угла SRT. SX = XT.

Первый признак равенства треугольников

Теорема    Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.  Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, AB = A1B1, AC = A1C1.    Пусть есть треугольник A1B2C2 – треугольник равный треугольнику ABC, с вершиной B2, лежащей на луче A1B1, и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой A1B1, где лежит вершина С1.    Так как A1B1=A1B2, то вершины B1 и B2 совпадают.    Так как ∠ B1A1C1 = ∠ B2A1C2, то луч A1C1 совпадает с лучом A1C2.    Так как A1C1 = A1C2, то точка С1 совпадает с точкой С2. Следовательно, треугольник A1B1C1 совпадает с треугольником A1B2C2, а значит, равен треугольнику ABC. Теорема доказана.