15. Постановка и экономико-математическая модель задачи о назначениях, особые случаи задачи о назначениях.

С помощью задачи о назначениях можно получить ответ на вопрос типа Как распределить рабочих по станкам, чтобы общая выработка была наибольшей? Как наилучшим образом распределить экипажи самолетов? Как назначить людей на разные должности? Исходные данные группируются в таблице, которая называется матрицей оценок, а результаты – в матрице назначений. ЕЕ постановка: Имеется n –работников, которые могут выполнить n-работ, причем использование i-того работника на j-той работе приносит доход Cij. Требуется поручить каждому из работников выполнение одной вполне определенной работы, чтобы максимизировать суммарный доход. Задача в том, чтобы найти распределение X=(Xij) работников по работам, которое максимизирует ЦФ.

F(x)=∑∑Cij Xij → max

∑Xij=1, i=1,n (1)

∑Xij=1, j=1,n (2)

причем Xij= либо 0 либо 1 для всех i,j=1,n

Ограничение (1) отражает условие того, что за каждым работником может быть закреплена только одна работа, а ограничение (2) означает, что для выполнения каждой работы может быть выделен только один работник. При решении таких задач используются алгоритмы и методы решения транспортных задач, в частности метод потенциалов.

16. Балансовый метод планирования, матричные модели. Примеры использования матричных моделей, сведения о компьютерной реализации с применением электронных таблиц.

Матричные (балансовые) модели представляют собой математическое выражение балансового метода планирования (метод взаимного сопоставления затрат и результатов).

Матричные модели объединяют общий принцип построения, единство системы расчетов и аналогичность ряда экономических характеристик.

В качестве примера указанных моделей в данной теме рассматриваются статическая и динамическая модели межотраслевого стоимостного баланса, межпродуктовый баланс для обеспечения взаимоувязки планов производства группы предприятий или обособленных подразделений (цехов, иных структур) одной организации.

Основное внимание при этом уделяется структуре и экономической интерпретации элементов статических моделей.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта по отраслям, межотраслевые потоки, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода [1].

ЭММ межотраслевого баланса представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную взаимосвязь включенных в его систему элементов:

где Х = (Х₁, Х₂, ..., Х_n) — вектор валовой продукции,

Y = (Y₁, Y₂, ..., Y_n) — вектор конечной продукции (конечное потребление и накопление),

Х_ij — производственные (материальные) затраты j-й отрасли продукции i-и отрасли в течение планового периода, допустим, года (например, если отрасль 1 — угольная, отрасль 2 - черная металлургия, то X₁₂ — годовые затраты угля на производство черных металлов).

С учетом обозначений

a_ij = X_ij / X_j; X_ij = a_ijX_j

система уравнений перепишется в виде

или в более компактном виде:

(запись с использованием знаков суммирования), X = АХ+Y, А = (a_ij)_n*n (запись в матричной форме).

Именно, в этих двух формах записи, как правило, и используется ЭММ межотраслевого баланса, которую называют моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».

Элементы a_ij матрицы А называют коэффициентами прямых (материальных) затрат - это затраты i-и отрасли на единицу (рубль) валовой продукции j-й отрасли.

В матричной форме модель Леонтьева можно записать в виде X - АХ = Y или (Е - А)X = Y.

Последнее соотношение можно использовать для анализа и планирования для решения следующих задач:

1) определение объемов конечного продукта отраслей Y₁, Y₂, ..., Y_n по заданным объемам валовой продукции (Е - А)Х = Y;

2) определение объемов валовой продукции отраслей Х₁, Х₂, ..., Х_n по заданным объемам конечной продукции: Х = (E - A)^-1×Y; X = BY, В = (Е - А)^-1.

Кроме того, можно определить величины конечной продукции части отраслей и объемы валовой продукции других отраслей, если задать для первых отраслей величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задать объемы конечной продукции.

Элементы b_ij обратной матрицы В = (Е-А)^-1 называются коэффициентами полных (материальных) затрат - это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j.

Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А - матрицей коэффициентов прямых затрат.

Неотрицательную матрицу А (А ≥ 0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор X > 0, что (Е - А) X > 0.

Это определение имеет простой экономический смысл: матрица А продуктивна, если существует такой план X > 0, что каждый объект (отрасль, предприятие, цех) может произвести некоторое количество конечной продукции.

Имеет место замечательный факт, что продуктивность матрицы А ≥ 0 является необходимым и достаточным условием существования, единственности и неотрицательности решения системы уравнений Y = (Е - А) X при любом неотрицательном векторе Y ≥ 0.

Укажем некоторые способы определения продуктивности матрицы А (признаки продуктивности): для ее продуктивности необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий.

1. Матрица (Е — А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)^-1 и все ее элементы неотрицательны.

2. Положительны все главные миноры матрицы (Е - А).

3. Матричный ряд Е + А + А² + ... = ∑A^k сходится, причем ∑А^k = (Е - А)^-1.

4. Максимальное собственное число матрицы А меньше единицы - λ(А) < 1 (собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения |A - λЕ| = 0).

Определение объемов валовой и конечной продукции по модели Леонтьева С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов: -- задавая для каждой отрасли величины валовой продукции (Xi) можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли: Y=(E-A)X -- задавая величины конечной продукции всех отраслей (Yi) можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi): X=(E-A)^-1 Y

Пример 1. Оценить продуктивность матрицы

.

Решение. Оценку произведем по второму и четвертому признакам.

1. Рассмотрим матрицу .

Определим ее главные миноры: Δ₁ = 0,6 > 0; Δ₂ = 0,54 - 0,06 = 0,48 > 0. Таким образом, матрица А - продуктивна.

Рассмотрим характеристическое уравнение |А — λЕ| = 0:

|A-λE| = (0,4 - λ)(0,1 - λ) – 0,06 = λ² - 0,5λ - 0,02 = 0;

Таким образом,

следовательно, матрица А продуктивна.

Рассмотрим межпродуктовую балансовую модель на примере предприятия, у которого в каждом цехе производится только один вид продукции в объеме X_i (i = 1, ..., n). Отдельный вид продукции может быть использован как промежуточный продукт, идущий на внутреннее потребление (передаваемый другим цехам), и как конечный продукт, поступающий непосредственно потребителю.

Обозначим через X_ij количество продукции i-го вида, потребляемой для изготовления j-й продукции в количестве X_j; через Y_i - выпуск конечной продукции i-го вида.

Общий (валовый) выпуск продукции i-го вида (потребность в ее производстве) равен сумме промежуточного и конечного продукта:

Обозначим через а_ij = Х_ij / Х_j норму расхода продукции i-го вида на производство продукции j-го вида, т.е. в принятой интерпретации это коэффициент прямых затрат. Тогда

Эта система балансовых уравнений в матричной форме имеет вид:

X = АХ + Y.

Используя приведенное матричное уравнение, можно найти:

1) валовый выпуск продукции путем умножения матрицы коэффициентов полных затрат на вектор конечной продукции:

X = (E - A)^-1Y;

2) распределение продукции между цехами путем умножения коэффициентов прямых затрат на общий выпуск:

X_ij = a_ijX_j.

Пример 2. Предприятие выпускает продукцию трех видов, причем каждое из его структурных подразделений (цехов) специализируется на выпуске только одного вида: первый цех выпускает продукцию первого вида, второй - продукцию второго вида, третий - продукцию третьего вида. Часть продукции идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом.

Имеются экономические оценки коэффициентов прямых затрат и объемов конечной продукции:

Требуется составить баланс производства и распределения продукции предприятия.

Решение. Модель баланса производства и распределения продукции предприятия можно представить следующей системой уравнений:

Отсюда определяем валовую продукцию цехов (студентам необходимо уметь решать системы уравнений методом Жордана-Гаусса и методом обратной матрицы):

X₁ = 60, X₂ = 40, X₃ = 30.

Распределение продукции между цехами на внутреннее потребление определяем из соотношения

X_ij = a_ijX_j, т.е. X₁₁ = 0,1*60 = 6; X₁₂ = 0,3*40 = 12 и т.д.

В итоге плановая модель — баланс производства и распределения продукции предприятия — будет иметь следующий вид (см. табл.)

Межпродуктовый баланс производства и распределения продукции

Производящие структуры Потребляющие структуры Конечный продукт Валовой продукт

1 2 3

1 6,0 12,0 6,0 36 60

2 12,0 8,0 9,0 11 40

3 6,0 4,0 12,0 8 30

Итого 24 24 27 55 130