20.Двойственные задачи

Постановка задачи

На некотором предприятииимеется m видов ресурсов и их кол-во b₁,b_2,… b_m из этих ресурсов необходимо произвести n видов изделий

Задано:

a_ij---kол-во i- го ресурса на 1j-ого изделия

i=1, j=1,

c_j-прибыль от реализации 1 j-ого изделия j=1,

Требуется определить план производства изделий максимизирующий прибыль

Математическая модель

x_j--kол-во изделий j-го вида (j=1, )

x=(x_1,x _2,….x _n)--план производства

2. 

4. m in g(y)=b₁y₁₊ b₂y₂ +….+ b_ny_n выражает интересы продающего предприятия; y₁ - оценка i-го ресурса (i=1, )

5. ---стоимость всех ресурсов которые на произ-во 1-го вида изделия , она должна быть не меньше С₁

6)

Задачи обладающие свойствами (1)-(6) наз-ся симметричными,взаимнодвойственными задачами одна из них наз-ся прямой,другая двойственной

Основная теорема двойственности

1)Если одна из двойственных задач имеет решение,то и вторая задача разрешима,причем экстремальные значениялинейных форм совпадают,т.е max f(x)= min g(y)

2)Если же одна из задач неразрешима,то и другая задача не имеет ни одного плана.

21.Сравнительная характеристика двойственных задач

Постановка задачи: На некотором предприятии имеется m-видов ресурсов b1, b2, …, bn. Их них нужно произвести n-видов изделий.

Задача: -количество i-го ресурса на единицу j-изделия. ;

-прибыль от реализации одного j-изделия. . Требуется определить план производства изделий максимизации прибыли.

Мат. модель

-количество изделий j вида. ( )

=(x1, x2,…,xn) план производства.

1. maxf(x)=

Мат. модель

- цена одного i-го ресурса ( )

4. min g(y)=

5. 

6. 

(1)-(3) 1)f(x) max 2) 3)коэф-т лин-ой формы 4)кач-во парам-ов 5) 6)

(4)-(6) 1)g(y) min 2) 3)правая часть ограничена 4)кол-во парам-ов 5) 6)

Задачи обладающие свойствами (1)-(6) называются симметричными взаимодвойственными задачами. Одна из них прямая, а другая двойственная.

0, 0, 0 – объективно обусловленные оценки.

Основная теорема двойственности: Если одна из двойственных задач имеет решение, то и вторая разрешима. Причем экстремальные значения линейных форм совпадают.

max f(x)=min g(y). Если же одна из задач неразрешима, то и др. задача не имеет не одного плана.

22. Основные определения и свойства модели транспортной задачи (теоремы 1,2)

Постановка задачи

В m пунктах отправления А1,А2,…,Аm имеется однородный груз в количествах а1,а2,…,аm. Этот груз необходимо отправить в n пункты потребления В1,В2,…,Вn,спрос, которого составляет b1,b1,…,bn. Задано: Сij-транспортные затраты на перевозку единицы груза и из пункта Аi в пункт Вj (i=1,m; j=1,n). Определить такой план перевозок при котором весь груз из пунктов отправления будет выведен, спрос всех потребителей удовлетворен и при этом суммарные транспортные задачи будут минимальными. Матем.модель. Введем переменные: Хij- объем груза из Аi→ Вj (i=1,m; j=1,n).

х₁₁ х₁₂ ... х_1n

X= x₂₁ x₂₂ ... x_2n - план перезок

x_m1 x_m2 ... x_mn

Всю данную информацию поместим в распределительную таблицу:

Ai/Bj	B1	B2	…	Bn
A1	C11 x11	C12 x12	…	C1n x1n
A2	C21 x21	C22 x22	…	C2n x2n
…	…	…	…	…
An	Cm1 xm1	Cm2 xm2		Cmn xmn

Целевая функция:

3. L(x)=C₁₁X₁₁+C₁₂X₁₂+…+C_1nX_1n+C₂₁X₂₁+C₂₂X₂₂+...+ +C_2nX_2n+….+C_m1X_m1+ +C_m2X_m2+...+C_mnX_mn→min

_{m n}

L(x)=∑∑CijXij→min ^{i=1 j=1} _n

Ограничение 1: ∑Xij=ai, i=1,m x₁₁+x₁₂+..+x_1n=a₁ (←eto sistema) (2) ^j=1 x₂₁+x₂₁+..+x_2n=a₂ …………………….

x_m1+x_m2+..+x_mn=a_n

Условие, что все поставщики должны быть полностью разгружены Ограничение 2 _m x₁₁+x₁₂+..+x_m1=b₁ (←eto sistema) (3) ∑Xij=bj, j=1,n x₂₁+x₂₁+..+x_m2=b₂ ⁱ⁼¹ …………………….

x_1n+x_2n+..+x_mn=b_n

Условие,что спрос всех потребителей удовлетворен Ограничение 3: (4) Xij≥0 i=1,m j=1,n Перевозки только в одном направлении (из Ai→Bj) (i=1,m; j=1,n).

Ограничения (2) и (3) в векторном виде:

(5) P₁₁X₁₁+P₁₂X₁₂+...+P_1nX_1n+P₂₁X₂₁+P₂₂X₂₂+…+P_2nX_2n+…+P_m1X_m1+P_m2X_m2+…+P_mnX_mn=P₀

Определение1: Всякое неотрицательное реш-е системы (2)и(3), определяемое матрицей X=//Xij//m*n наз-ся планом транспортной задачи Определение2: План X=//Xij//m*n называется опорным, если векторы Рij входящие в разложение (5) с ненулевыми коэффициентами линейно-независимо. Определение3: Опорный план X=//Xij//m*nназывается невырожденным, если он содержит ровно m+n-1 ненулевых элементов. Определение4: План X=//Xij//m*n, при котором целевая функция достиг мин. значения называется оптимальным.

Теорема 1.Для того, чтобы задача (1)-(4) была разрешима необходимо и достаточно выполнения условия , при этом модель транспортной задачи называется закрытой.

Теорема 2. Ранг матрицы системы ограничения (2)-(3) на единицу меньше числа ограничений. r(A)= n+m-1.

Ранг ­- наивысший порядок отличного от нуля минора.

Минор – определитель.