4.Векторная запись задачи линейного программирования, их эквивалентность
Каноническая форма задачи ЛП:
Найти max f(х)=c1х1 + c2х2 + …+ cnхn при условиях:
Векторная запись канонической формы ЗЛП
max f(х)=c1х1 + c2х2 + …+ cnхn
p 1x1+ p2x2+….+pnxn=p0
x j ≥0, j=1,n
(a11) (a21) ( a1n) ( b1)
p1= (a21) , p2= (a22) , ….. , pn= (a2n ) p0= ( b2)
…. …. …. .…
(am1) (am2) (amn) (bm)
5.Основные понятия и определения задачи линейного программирования. Определения плана, опорного плана, невырожденного плана, оптимального плана
Определение 1. Точка плоскости x=(x1, x2, …, xn) удовлетворяющий ограничениям 2, 3 наз-ся решением ЗЛП или планом ЗЛП.
Определение 2. План x=(x1, x2, …, xn) наз-ся опорным, если векторы Pj (j=1,n) входящие в разложение 2 с ненулевыми коэффициентами xj >0 (j=1,n) образуют линейно-независимую систему.
Векторы P1, P2, …, Pn наз-ся линейно-независимыми, если из них нельзя составить нулевую линейную комбинацию, т е α1P1+α2P2+….+αnPn=0, если α1=α2=….=αn=0
Определение 3. Опорный план наз-ся невыражденным, если он содержит ровно m положительных элементов, в противном случае он наз-ся выражденным.
Определение 4. План x=(x1, x2, …, xn) при котором целевая функция достигает max значения наз-ся оптимальным.
Определение 5. Множество точек наз-ся выпуклым, если отрезок соединяющий любые 2 точки этого множества принадлежит этому множеству
Определение 6. Точка выпуклого множества наз-ся крайней, если ее нельзя представить лежащей на отрезке соединяющем 2 точки этого множества
6) Определение выпуклого множества, крайней точки выпуклого множества. Основные свойства решения задачи линейного программирования (теоремы 1)
Опр1.Множество точек называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые 2 точки этого множества принадлежит этому множеству.
Опр2.Множество называется выпуклым, если вместе с любыми 2 точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти точки. Опр.Точка выпуклого множества называется крайней, если ее нельзя представить лежащей на отрезке, соединяющим 2 точки этого множества.
Теорема 1.Множество планов ЗЛП выпукло. Если целевая функция такой задачи выпукла и область допустимых решений также выпуклое множество, то говорят о задаче выпуклого программирования. Методы выпуклого программирования используются при решении задач расчета оптимальной партии выпуска деталей, управлении комплексными поставками и запасами, распределении ограниченных ресурсов и т.д.
7) Основные свойства решения задачи линейного программирования (теоремы 2 и 3)
Теорема 2.Целевая функция ЗЛП достигает экстремума в крайней точке выпуклого множества планов, если целевая функция достигает экстремума более, чем в 1 точке, то она достигается того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.
Опр. Выпуклая линейная комбинация точек x1,x2…xn называется точка x равная X=d1*x1+d2*x2+…+dnxn ,где di≥0 i=1,n ∑di=1. Теорема 3. Для того, чтобы точка Х равная х1,х2,х3 была крайней необходимо и достаточно, чтобы ненулевые компоненты xj>0 j=1,n ,были коэффициентами при линейно-независимых векторах pj j=1,n в разложении p1x1+p2x2+…+pnxn=p0. 1.Опорный план находится в крайней точке выпуклого множества планов ЗЛП. 2.С каждым опорным планом и с каждой крайней точкой связана система линейно-независимых векторов.
8) Графический метод решения задачи линейного программирования. Постановка задачи:
Найти max f(х)= c1х1 + c2х2 при ограничениях
а11х1
+ а12х2
≤
b1
а2х1 + а22х2 ≤ b2
………………………
аm1х1 + am2 х2 ≤ bm
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0
Нахождение минимального значения линейной функции при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях тем, что линия уравнения c1x1+c2x2=h (где h–некоторая постоянная) передвигается не в направлении вектора C=(c1,c2) ,а в противоположном направлении. Теорема. Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то максимальное значение целевой функции задачи принимает в одной из вершин многогранника решений. Если максимальное значение целевой функции задачи принимает более, чем в одной точке, то она принимает его во всякой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин. Алгоритм: Шаг1. Строятся прямые уравнение которого, определяются из ограничений, с заменой знаков неравенств на знак равенства. Шаг 2.Строятся полуплоскости, заданные ограничениями Шаг 3.Определяется область допустимых решений, как общая часть всех полуплоскостей Шаг 4.Целевой ф-ии придается произвольное числовое значение и строится полученная прямая Шаг 5.Строится вектор-градиент С=(df/dx1,df/dx2)=(c1,c2) Шаг 6.Целевая функция перемещается вдоль области допустимых решений в направлении вектора С до тех пор пока не достигнет последней общей точки с областью допустимых решений. Шаг 7.Определяются координаты этой точки, определяется значение целевой функции в этой точке.