Интегрирование по частям
Интегрирование по
частям - приём, который применяется
почти так же часто, как и замена переменной.
Пусть u(x) и v(x)
- функции, имеющие непрерывные частные
производные. Тогда по формуле
дифференцирования произведения d(uv)
= u∙dv + v∙du
.
Находим неопределённые интегралы для
обеих частей этого равенства (при этом
):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v’∙dx , du = u’∙dx):
.
Примеры:
.
.
Формула интегрирования
по частям может применяться неоднократно.
При наличии небольшого опыта в простых
интегралах нет необходимости выписывать
промежуточные выкладки (u = …,
dv = …), можно сразу применять
формулу, представив интеграл в виде
:
.
Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
1. Интегралы вида
,
,
,
где Pn(x) -
многочлен n-ой степени. Так, для
имеем
,
,
и
.
В результате мы получили интеграл того
же типа с многочленом степени на единицу
меньше. После n-кратного применения
формулы степень многочлена уменьшится
до нуля, т.е. многочлен превратится в
постоянную, и интеграл сведётся к
табличному.
2. Интегралы
,
где
-
трансцендентная функция, имеющая
дробно-рациональную или дробно-иррациональную
производную (ln x,
arctg x,
arcctg x,
arcsin x,
arcos x).
В этом случае имеет смысл взять u
= f(x), dv = Pn(x)dx,
для того, чтобы в интеграле
участвовала
не f(x), а её производная.
Пример:
.
3. Для некоторых функций применяется приём “сведения интеграла к самому себе”. С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла.
4. Ещё один вид формул, которые обычно получаются с помощью интегрирования по частям, и используются для нахождения интегралов - рекуррентные соотношения. Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено соотношение, которое выражает интеграл через аналогичный интеграл с меньшим значением n, то это соотношение и называется рекуррентным соотношением.
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
где
Свойства определенного интеграла
Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].
где
k - константа;
Если
для
всех
,
то
.
Если
в
интервале [a, b], то
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
|
|
|
Рис.1 |
|
Рис.2 |
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
