3.3. Учебное пособие

Учебное пособие находится в библиотеке СЗТУ (см.[1]).

3.4. Глоссарий

Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения определяются, соответственно, равенствами: , ;

здесь – выборочное среднее квадратическое отклонение;

и – центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков: , .

Асимметрией теоретического распределения, то есть распределения вероятностей, называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения: .

Биноминальным распределением вероятностей называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: .

Дисперсия непрерывной случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее среднего значения:

,

где – плотность вероятности случайной величины .

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар чисел и их вероятностей . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом.

Законом распределения случайной величины называется любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями, соответствующими этим значениям.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Интенсивностью потока называется среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратичекого отклонения нормально распределенного количественного признака по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал

где находят по таблице приложения 4 с заданными и .

Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности биноминального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами и )

,

где

где – общее число испытаний; – число появлений события; – относительная частота, равная отношению ; – значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором ( – заданная надежность).

Композицией называют плотность распределения суммы независимых случайных величин.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой.

Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

.

Критерий – это подобие цели, ее аппроксимация, модель.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число: ,

где – плотность вероятности.

Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

Начальным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания)

служит выборочная средняя , – варианта выборки; – частота варианты ; – объем выборки.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия .

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которая описывается плотностью

.

Областью принятия гипотезы (область допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Объединением (свертыванием) векторного критерия оптимальности называется процесс образования скалярной функции, являющейся обобщенной целевой функцией для задачи многокритериальной оптимизации.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Оценкой наибольшего правдоподобия параметра называют такое его значение , при котором функция правдоподобия достигает максимума.

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения: .

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где – интенсивность отказов.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где – варианты выборки и – соответствующие им частоты.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , где – варианты выборки и соответствующие им относительные частоты.

Потоком событий называют последовательности событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Системой двух случайных величин называется совокупность двух случайных величин , рассматриваемых совместно.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

;

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: .

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин .

Статистическими распределениями выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот (сумма всех частот равна объему выборки ) или относительных частот (сумма всех относительных частот равна 1).

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом , где – результаты наблюдений над количественным признаком (выборка).

Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время : .

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины называют функцию аргумента :

.

Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины называют функцию аргумента :

.

Функцией распределения называют функцию , определяющую для каждого вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , то есть .

Центральным моментом порядка случайной величины называют математическое ожидание величины :

.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством .

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения относительную частоту события : , (1)

где – число вариант, меньших ;

– объем выборки.

3.5. Технические средства обеспечения дисциплины

Компьютерная программа Mathcad Professional

4. Блок контроля освоения дисциплины

4.1. Задание на контрольную работу и методические указания к её выполнению

Во всех заданиях вместо (*) ставим последнюю цифру шифра студента по схеме, приведённой ниже:

, , и т.д. .

4.1. Задание на контрольную работу

Задание 1. Двумерная случайная величина задана плотностью совместного распределения:

.

Найти условные законы распределения вероятностей составляющих.

Задание 2. В первом и во втором ящиках (*) + 7 шаров:

1-й ящик 2-й ящик

(*)+1 шара с номером 1 3 шара с номером 1

2 шара с номером 2 3 шара с номером 2

3 шара с номером 3 1 шар с номером 3

1 шар с номером 4 (*) шаров с номером 4

Пусть X – номер шара, вынутого из первого ящика, Y – номер шара, вынутого из второго ящика.

Из каждого ящика вынули по шару.

Найти математическое ожидание случайных величин X и Y; дисперсию и коэффициент корреляции.

Задание 3. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью:

, в области

и , вне этой области.

Область определяется неравенствами , .

Найти , , определить коэффициент корреляции .

Задание 4.. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :

Задание 5.. Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема :