6. Операции цифровой обработки сигналов. Линейная свертка. Корреляция сигналов. Линейная цифровая фильтрация. Модуляция сигналов.

К основным оперциям относятся свертка (конволюция), корреляция, фильтрация, функциональные преобразования, модуляция. Линейная свертка – основная операция ЦОС. Для двух конечных причинных последовательностей h(n) и y(k) длиной соответственно N и K свертка определяется выражением: s(k) = h(n) ③ y(k)  h(n) _* y(k) = h(n) y(k-n), Преобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал для установленного значения входного сигнала при известном импульсном отклике системы. Обратная задача деконволюции - определение функции y(k) по функциям s(k) и h(n), имеет решение только при определенных условияхКорреляция существует в двух формах: автокорреляции и взаимной корреляции. Взаимно-корреляционная функция (ВКФ, cross-correlation function - CCF), и ее частный случай для центрированных сигналов функция взаимной ковариации (ФВК) – это показатель степени сходства формы и свойств двух сигналов. Линейная цифровая фильтрация является одной из операций ЦОС, имеющих первостепенное значение, и определяется какs(k) = h(n) y(k-n), где: h(n), n=0, 1, 2, … , N – коэффициенты фильтра, y(k) и s(k) – вход и выход фильтра. Это по сути свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра. К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основными методами цифровой фильтрации данных являются частотная селекция сигналов и оптимальная (адаптивная) фильтрация.Дискретные преобразования позволяют описывать сигналы с дискретным временем в частотных координатах или переходить от описания во временной области к описанию в частотной. Самым распространенным преобразованием является дискретное преобразование Фурье. При K отсчетов функции:S(n) = s(k) exp(-j 2 kn/K). дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции.:f = 1/T = 1/(Kt), t = 1/2f_N = 1/(Nf), tf = 1/N, N = 2Tf_N = K Т.е.для преобразований без потерь информации число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми.Модуляция сигналов. Перенос спектра сигналов из низкочастотной области в выделенную для их передачи область высоких частот выполняется операцией модуляции.

6. Высокочастотный цифровые фильтры Баттерворта.

Высокочастотные и полосовые фильтры конструируются путем частотной трансформации передаточных функций фильтров низких частот. Если обозначить аргумент передаточных функций ФНЧ через p=jW, a функций ФВЧ и ПФ через s=jw, то всегда можно найти такую функцию частотного преобразования p=F(s), которая превращает один тип фильтров в другой. Для преобразования ФНЧ → ФВЧ функция частотного преобразования имеет вид:p = 1/s, (10.2.1) В этом нетрудно убедиться сравнением двух видов преобразования. Как известно, передаточная функция ФВЧ может быть получена из ФНЧ разностью между широкополосным фильтром (H()=1) и ФНЧ. Применяя этот метод для функции Баттеруорта, получаем:|H(w)|² = 1-|H(W)|² = 1- 1/(1+W^2N) = W^2N/(1+W^2N). (10.2.2)С другой стороны, при W = p/j: |H(p)|² = 1/(1-p^2N). Выполняя подстановку (10.2.1) в это выражение, получаем:|H(s)|² = s^2N/(s^2N-1).Возвратимся из последнего выражения к аргументу w с учетом принятого равенства s=jw:|H(s)|² = (jw)^2N/((jw)^2N-1) =(w)^2N/(1+(w)^2N),что полностью повторяет (10.2.2) при w=W.Подставляя p=1/s непосредственно в выражение H(p) (10.1.16) для четного значения N, получаем:H(s) = G s²/(s²+a_m s+1)(10.2.3)Для нечетного N:H(s) = [G·s/(s+1)] s²/(s²+a_m s+1).