56. Функция когерентности входного и выходного сигналов фильтра оценивается по формуле:

_xy²(f) = |W_xy(f)|²/[W_x(f)W_y(f)].

Если функции W_x(f) и W_y(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0  _xy²(f)  1.

Для исключения дельта-функции на нулевой частоте (постоянная составляющая сигнала) определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для фильтров с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу подставить выражения W_xy и W_y, определенные через W_x. Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

1. В сигналах (или в одном из них) присутствует внешний шум (например, шум квантования при ограничении по разрядности).

2. Фильтр не является строго линейным. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т.п.

3. Выходной сигнал y(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

Величина 1-_xy²(f) задает долю среднего квадрата сигнала y(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

Использование функций когерентности в практических методах анализа случайных данных подробно рассмотрено в работе /4/.

57. Рекурсивные частотные цифровые фильтры Чебышева.

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов.

Фильтры первого рода. Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода). Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:

|H(W)|² = 1/ [1+  _N² T_N²(W)],

где Т_N(W) - многочлен Чебышева N-го порядка:

T_n(W) = cos(n arccos(W)), W 1.

= ch(n arcch(W)), W>1. n = 1,2,...

Фильтры второго рода. Для фильтров Чебышева второго рода, с гладкой передаточной характеристикой в зоне пропускания и равноволновыми пульсациями в зоне подавления, используется функция:

|H(W)|² = 1/[1+  ²(T_N²(W_s)/T_N²(W_s/W))], (10.4.6)

где W = /_p , W_s = _s/_p. Условие задания параметра  остается без изменений. На границе полосы подавления при = _s: 1+²T_N²(_s/_p) = 1/A_s², откуда значение N также определяется аналогично фильтру первого рода. Дальнейший порядок расчетов фильтров Чебышева второго рода не отличается от фильтров первого рода.

Операции, относящиеся к рекурсивной фильтрации, также известны в обычной практике, например - интегрирование.

58. Передаточная функция цифрового фильтра. Методика расчета фильтров.

Применив преобразование Лапласа к импульсной характеристике цифрового фильтра, можно получить его операторную передаточную характеристику.

Для фильтра типа (1) (трансверсальный фильтр) импульсная характеристика

,

следовательно, учитывая, что преобразование по Лапласу для равно , имеем:

(1)

Подставив вместо р величину получим комплексную частотную передаточную характеристику трансверсального фильтра

.

(4)

Передаточная функция цифрового фильтра имеет периодическую структуру на оси частот с периодом , причем примыкающая к нулю часть является передаточной характеристикой соответствующего аналогового фильтра , обладающего импульсной характеристикой h(t), т.е.

На рис.4 показана АЧХ дискретного фильтра, соответствующая аналоговому ФНЧ, частота прозрачности которого

Рис. 4

Методика расчета фильтров в самом общем виде включает:

1. Задание идеальной частотной передаточной функции фильтра.

2. Расчет функции отклика идеального фильтра.

3. Ограничение функции отклика до определенного количества членов.

4. Для нейтрализации явления Гиббса производится выбор весовой функции и расчет ее коэффициентов, на которые умножаются коэффициенты функции отклика фильтра.

5. С использованием полученных значений коэффициентов оператора фильтра производится построение его частотной характеристики и проверяется ее соответствие поставленной задаче.