50. Усиление шумов. Весовые функции.

Усиление шумов. Критерием качества при использовании любого метода фильтрации информации можно считать выполнение целевого назначения с минимальным усилением шумов (максимальным их подавлением). Обозначим через (k) аддитивный шум во входном сигнале с математическим ожиданием M{(k)}= 0 и дисперсией ². Значения (k) статистически независимы. С учетом помехи во входном сигнале значение сигнала на выходе: y(k) = _n h(n)[x(k-n)+(k-n)]. Математическое ожидание значений выходного сигнала: M{y(k)}= _n h(n)[x(k-n)+M{(k-n)]}= _n h(n) x(k-n). Вычислим дисперсию распределения отсчетов выходного сигнала: D{y(k)}= ² _n h²(n). Отсюда следует, что сумма квадратов значений импульсного отклика цифрового фильтра представляет собой коэффициент усиления шумов. Это полностью соответствует прямому использованию выражения при W_x(f) = ²: _y² = ² |H(f)|² df ≡ ² h²(n). Таким образом, коэффициент усиления фильтром дисперсии статистически распределенных шумов при расчете по импульсному отклику: K_q =_n h²(n). По дискретной частотной функции фильтра: K_q = [1/(N+1)] _n H_n². Весовые функции Естественным методом нейтрализации нежелательных эффектов усечения сигналов во временной области является изменение окна селекции сигнала таким образом, чтобы частотная характеристика окна селекции при свертке как можно меньше искажала спектр сигнала.

Основные весовые функции.

Естественное (П) П(t) = 1, |t|П(t) t

Бартлетта () b(t) = 1-|t|/

Хеннинга, Ганна p(t) = 0.5[1+cos(t/)]

Хемминга p(t) = 0.54+0.46 cos(t/)

Карре (2-е окно) p(t) = b(t) sinc(t/)

Лапласа-Гаусса p(t) = exp[-²(t/)²/2]

Кайзера-Бесселя p(t) =

51.Явление Гиббса. Параметры эффекта.

При расчетах фильтров, задается определенная передаточная характеристика H() фильтра и по ней производится расчет оператора фильтра h(n), количество членов которого может оказаться очень большим даже только по значимым значениям. Усечение может рассматриваться, как результат умножения функции оператора фильтра на селектирующее весовое окно длиной 2N+1. В простейшем случае это окно представляет собой П-образную селектирующую функцию:

h_n = h(n)·П_N(n), П_N(n) = 1 при |n|  N, П_N(n) = 0 при |n| > N.

Функция h(n) оператора фильтра, в пределе бесконечная, обуславливает определенную частотную передаточную характеристику фильтра H(). Полному оператору h(n) соответствует исходная частотная характеристика H(): H() = h(n) exp(-jn). (1)

Сущность явления Гиббса. Функции во временном окне селекции П_N(n) в частотном пространстве соответствует спектральная функция. При усечении оператора h(n) и ряда Фурье (3.1.1), до конечного числа членов N будем иметь усеченный ряд Фурье:

H_N() = h(n) exp(-jn), (2)

при этом сходимость суммы остающихся членов ряда H_N() к исходной передаточной функции H() ухудшается и происходит отклонение частотной характеристики фильтра от первоначальной в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах в передаточных функциях:

- крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (2);

- по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (1).

Эти эффекты при усечении рядов Фурье получили название явления Гиббса.