Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является именно z-преобразование.

Y(z) a_mz^m = X(z) b_nzⁿ,

где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в z-области: H(z) = Y(z)/X(z) = b_nzⁿ (1+ a_mz^m).

Для НЦФ: H(z) = b_nzⁿ.

При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(ω), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. В общей форме для выходных сигналов фильтра: Y(z) = H(z)·X(z).

Свойства:

Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности. Любая последовательность s(k) однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению.

Линейность: Если s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n). Y(z) = y(k) z^k = x(k-n) z^k =zⁿ x(k-n) z^k-n = zⁿ x(m) z^m = zⁿ X(z). Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zⁿ вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров: s(k) = h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2, …

Z-преобразование уравнения свертки: S(z) = h(n) y(k-n) z^k = h(n) zⁿ y(k-n) z^k-n = h(n) zⁿ y(k-n) z^k-n = H(z) Y(z).

Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме: x(k) = TZ^-1[X(z)].

На практике X(z) в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:

X(z) = (b₀ + b₁ z + b₂ z² + …+ b_N z^N ) / (a₀ + a₁ z + a₂ z² + …+ a_M z^M ) = x(0) + x(1)z + x(2)z² + …

36. Разностные операторы.

Разностный оператор 1-го порядка имеет вид:

Последовательное n-кратное применение оператора записывается в виде оператора n-го порядка:

Значение коэффициентов усиления дисперсии шумов резко нарастает по мере увеличения порядка оператора. Это позволяет использовать разностные операторы с порядком выше 1 для определения местоположения статистически распределенных шумов в массивах данных. Особенно наглядно эту возможность можно видеть на частотных характеристиках операторов.

36. Выделение в сигналах шумов

Разностные операторы подавляют постоянную составляющую сигнала и его гармоники в первой трети интервала Найквиста и увеличивают высокочастотные составляющие сигнала в остальной части интервала тем больше, чем больше порядок оператора. Как правило, эту часть главного интервала спектра сигналов занимают высокочастотные статистические шумы.

Шумы при анализе данных также могут представлять собой определенную информацию, например, по стабильности условий измерений и по влиянию на измерения внешних дестабилизирующих факторов. На рис. 2.2.2 приведен пример выделения интервалов интенсивных шумов в данных акустического каротажа, что может свидетельствовать о сильной трещиноватости пород на этих интервалах. Такая информация относится уже не шумовой, а к весьма полезной информации при поисках и разведке нефти, газа и воды.