28. Фильтры мнк 1-го, 2-го и 4-го порядка.

фильтры мнк 1-го порядка :Расчет коэффициентов фильтра. Простейший способ аппроксимации по МНК произвольной функции s(t) - с помощью полинома первой степени, т.е. функции вида y(t) = A+Bt (метод скользящих средних). Произведем расчет симметричного фильтра МНК на (2N+1) точек с окном от -N до N. Функция остаточных ошибок записывается в форме: (A, B) = [s_n - (A+B·n)]²Дифференцируем функцию остаточных ошибок по аргументам А, В, и, приравнивая полученные уравнения нулю, формируем 2 нормальных уравнения с двумя неизвестными: (s_n-(A+B·n))  s_n - A 1 - B n = 0, (s_n-(A+B·n))·n  ns_n - A n - B n² = 0.С учетом равенства n = 0, решение данных уравнений относительно А и В: А = s_n , B = ns_n / n². Подставляем значения:y(k+) = s_k-n +  ns_k-n / n².

29 Расчет коэффициентов фильтров. Если шумы в обрабатываемых сигналах сосредоточены в основном в высокочастотной области, то достаточно простые фильтры сглаживания без значительных осцилляций могут быть синтезированы непосредственно по частотной характеристике.Проведем расчет простого симметричного сглаживающего НЦФ с окном в пять точек: y_k = as_k-2+bs_k-1+cs_k+bs_k+1+as_k+2. Полагаем s_k = exp(jk), при этом y_k = H() exp(jk). Подставляем значения входного и выходного сигнала в уравнение фильтра, сокращаем левую и правую части на общий член exp(jk) : H() = 2a cos 2+ 2b cos + c. Сокращаем количество параметров функции заданием граничных условий по частоте. Как правило, имеет смысл принять: H(0) = 1, H() = 0. Отсюда: H(0) = 2a+2b+c = 1, H() = 2a-2b+c = 0. B = 1/4, c = 1/2-2a. При этом функция H() превращается в однопараметровую: H()=2a(cos 2-1)+(cos +1)/2. Можно наложить еще одно дополнительное условие и определить все коэффициенты фильтра непосредственно.

30. Z-преобразование сигналов и системных функций.

Z-преобразование. Удобным методом решения разностных уравнений линейных систем является z-преобразование. Применяя z-преобразование к обеим частям равенства a_m y(kt-mt) = b_n x(kt-nt) , c учетом сдвига функций (y(k-m)  z^m Y(z)), получаем: Y(z) a_mz^m = X(z) b_nzⁿ, где X(z),Y(z)- соответствующие z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a_o = 1, получаем в общей форме уравнение передаточной функции системы в z-области:

H(z) = Y(z)/X(z) = b_nzⁿ (1+ a_mz^m). Для НЦФ, при нулевых коэффициентах a_m: H(z) = b_nzⁿ. В общей форме для выходных сигналов фильтра:Y(z) = H(z)·X(z).Y(z) = X(z) b_n zⁿ – Y(z) a_m z^m После обратного Z-преобразования y(k) = b_n x(k-n) – a_m y(k-m). При подаче на вход фильтра импульса Кронекера _о, имеющего z-образ (z) = zⁿ = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y(k) ≡ h(k), при этом:H(z) = Y(z)/(z) = Y(z) = TZ[y(k)] = h(k) z^k, т.е. передаточная функция фильтра является z-образом его импульсной реакции. При обратном z-преобразовании передаточной функции получаем импульсную характеристику фильтра.

31. Определение z-преобразования. z-преобразование (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты E(n) = z − n = r − ne − iωn, то есть на гармонические осцилляциии с различными частотами и скоростями нарастания/затухания. s_k = s(kt)  TZ[s(kt)] = s_k z^k = S(z), где z = +j - произвольная комплексная переменная. В показательной форме z = rexp(-j), где r = |z| = ,  = arg(z) =argtg(/). В каузальных системах значения импульсного отклика систем существуют при k ≥ 0 и уравнение действует в одностороннем варианте: H(z) = h_k z^k. В общем случае, z-преобразование – это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения S(z) конечны, называют областью сходимости. Значения z, для которых S(z) = ∞, называются полюсами, а для которых S(z) = 0, называются нулями функции S(z).