2.5.1 Прямокутний імпульс
Найпростіше коливання, яке визначається виразом
і представлене на мал.2.4, набуло широкого поширення як в техніці, так і в теорії сигналів і кіл.
мал.2.4
Знайдемо спектральну щільність
(2.21)
Зауважимо,
що добуток
,
рівне площі імпульсу, визначає значення
спектральної щільності імпульсу при
,
тобто
.
Таким
чином (2.21) можна записати у формі
(2.22)
мал.2.5
2.5.2 Трикутний імпульс
Імпульс визначається виразом (мал.2.6)
мал.2.6 мал.2.7
Застосуємо
властивості спектрів. Знайдемо спектральну
щільність функції, що є похідною від
заданого сигналу
(мал.2.7)
.
Спектральна щільність прямокутного
імпульсу тривалістю
і амплітудою
за
аналогією з формулою (2.21) і з урахуванням
зсуву середини імпульсу на час
відносно точки
.
Спектральна щільність негативного імпульсу, показаного на мал.2.7, відповідно
Сумарна щільність двох імпульсів
Спектральна
щільність трикутного імпульсу, що є
інтегралом від функцій
,
виходить розподілом попереднього виразу
на
:
(2.22)
Множник
- площа трикутного імпульсу. Рівень
бічних пелюсток спектра трикутного
імпульсу убуває пропорційно
,
а не на, як у випадку прямокутного
імпульсу (мал.2.6)
мал.2.6
2.5.3 Дзвіноподібний (Гаусівський) імпульс
Імпульс визначається виразом (мал.2.7)
(2.23)
Постійне
має сенс половини тривалості імпульсу
визначається на рівні
від амплітуди імпульсу. Таким чином,
повна тривалість імпульсу
дорівнює
.
мал.2.7
Спектральна щільність імпульсу визначається виразом
(2.24)
Для обчислення інтеграла зручно в підінтегральній функції доповнити показник степеня до квадрата суми
де величина
визначається з умови
Звідки
(2.25)
Таким чином, вираз (2.24) можна привести до вигляду
Переходячи
до нової змінної
,
отримуємо
Враховуючи,
що входить в цей вираз інтеграл дорівнює
,
остаточно отримуємо
(2.26)
де
Графік цієї функції зображено на мал.2.8
мал.2.8
Гаусівський
імпульс і його спектр виражаються
однаковими функціями і мають властивості
симетрії: для отримання однієї з них за
заданою інший досить замінити
на
або навпаки. При цьому спектральна
смуга, визначається на рівні
від максимального значення, дорівнює
,
а коефіцієнт
2.5.4 Імпульс виду
Імпульс визначається виразом (мал.2.9)
(2.27)
рис.2.9
Замість обчислення спектральної щільності скористаємося властивістю взаємозамінності і в перетвореннях Фур'є для парних функцій часу.
Спектральна щільність імпульсу визначається формулою
Із спектральної щільності прямокутного імпульсу, після заміни на і на заданої функції буде відповідати спектр прямокутної форми (мал.2.10). Залишається лише знайти площу цього спектру і його рівень.
мал.2.10
Для цього
можна порівняти абсцису
з аналогічною абсцисою
.
При заміні
на
(або навпаки) необхідно виходити з
відповідності
,
тобто
,
звідки випливає, що
є шукана ширина спектру
Рівень
спектра можна визначити за його значенням
в точці
,
для якої
дорівнює площі імпульсу:
Отже, остаточно
(2.28)