2.3.3 Зсув спектру сигналу
Застосуємо перетворення
До добутку
Перший
інтеграл в правій частині є не що інше,
як спектральна щільність функції
при частоті
,
а другий інтеграл - при частоті
.
Тому отримане вище співвідношення можна
записати у формі
(2.15)
де
-
спектральна щільність сигналу
.
З виразу
(2.15) випливає, що розчеплення спектра
на дві частини, зміщені відповідно на
и
еквівалентно множенню функції
на гармонійне коливання
(при
).
2.3.4 Диференціювання та інтегрування сигналу
Диференціювання
сигналу
можна трактувати як почленне диференціювання
всіх гармонійних складових, що входять
до його спектру. Але похідна функції
рівна
з чого безпосередньо випливають такі
відповідності:
(2.16)
При диференціюванні швидкість зміни сигналу в часі зростає. Як наслідок модуль спектру похідної має великі значення в області високих частот в порівнянні з модулем спектру вихідного сигналу.
У разі спектру похідної -го порядку
Диференціювання
сигналу за часом еквівалентно простий
алгебраїчної операції множення
спектральної щільності на множник
.
Тому прийнято говорити, що уявне число
є
оператором диференціювання, чинним в
частотній області.
Сигнал є первісною (невизначеним інтегралом по відношенню ).
З (2.16) формально випливає, що спектр першообразної
(2.17)
Таким
чином, множник
служить оператором інтегрування в
частотній області.
2.3.5 Додавання сигналів
Так як
перетворення Фур'є, є лінійним, що при
додаванні сигналів
володіють спектрами
,
сумарним сигналом
відповідає спектр
2.3.6 Добуток двох сигналів
Нехай
розглянутий сигнал
є добутком двох функцій часу
і
.
Використовуючи формулу,
Визначаємо спектр сигналу
(2.18)
Кожну функцію можна представити інтегралом Фур'є:
Підставляючи в (2.18) другий і цих інтегралів, отримуємо
Змінивши порядок інтегрування будемо мати
Ув'язнений
в квадратні дужки інтеграл по змінній
являє
собою спектральну щільність функції
при частоті
,
тобто
.
Отже,
(2.19)
Отже,
спектр добутку двох функцій часу
і
дорівнює, (з коефіцієнтами
)
згортку їх спектрів
і
.
З виразів
(2.18) і (2.19) в окремому випадку
випливає наступна рівність:
Замінюючи в останньому виразі на отримуємо
(2.20)
2.4 Розподіл енергії в спектрі неперіодичного сигналу
Для знаходження енергії в спектрі неперіодичного сигналу здійснимо граничний перехід .
Якщо і являють собою одне і теж коливання,
то інтеграл
являє
собою повну енергію сигналу
.
Крім того, добуток спектральних густин
і
приводиться до вигляду
де - спектр сигналу , а - модуль цього спектру.
Таким чином, відповідно до (2.20) приходимо до остаточного результату
(2.21)
Це співвідношення, що встановлює зв'язок між енергією сигналу і модулем його спектральної щільності, відоме під назвою рівність Парсеваля.