2.2 Співвідношення між спектрами одиничного імпульсу та періодичної послідовності імпульсів

Нехай заданий імпульс і відповідна йому спектральна щільність (мал.2а)

а)

б)

мал.2.2

На малюнку зображений модуль суцільного спектру у вигляді функції, парною щодо

При повторенні імпульсів з періодом виходить послідовність, представлена ​​на рис. 2.2, б (ліворуч). Лінійчатий (дискретний) спектр цієї послідовності зображений у правій частині малюнка. при періоді інтервал між будь-якими двома сусідніми гармоніками дорівнює .

Коефіцієнт - й гармоніки

де _, і відповідають мал.2.1.

Спектральна щільність одиночного імпульсу на тій же частоті виходячи з (2.6) буде

Спектральна щільність відрізняється від коефіцієнта ряду Фур'є періодичної послідовності тільки відсутністю множника .

Отже має місце просте співвідношення

_(2.13)

Відповідно комплексна амплітуда - й гармоніки

_(2.13^’₎

Отже, модуль спектральної щільності одиночного імпульсу і огинає лінійного спектра періодичної послідовності, отриманої шляхом повторення заданого імпульсу, збігається за формою і відрізняються тільки масштабом.

На мал. (2.2,б) штриховою лінією позначена огинаючу лінійного спектра

Із збільшенням спектральні лінії на мал. (2.2,б) зближуються і коефіцієнти зменшуються, але так, що ставлення залишається незмінним. У межі, при , приходимо до одиночного імпульсу із спектральною щільністю.

Таким чином стає наочним термін "спектральна щільність": є амплітуда напруги (струму), що припадає на 1 Гц в нескінченно вузькій смузі частот, яка включає в себе розглянуту частоту .

2.3. Деякі властивості перетворення Фур'є

Між сигналом і його спектром існує однозначна відповідність. Для практичних додатків важливо встановити зв'язок між перетворенням сигналу і відповідним цьому перетворенню зміною спектру. З численних можливих перетворень сигналу розглянемо наступні найбільш важливі і часто зустрічаються: зрушення сигналу в часі, зміна масштабу часу, зрушення спектра сигналу по частоті, диференціювання та інтегрування сигналу, складання сигналів, твір і згортка двох сигналів.

2.3.1 Зрушення сигналу в часі

Нехай сигнал довільної форми існує на інтервалі від до і володіє спектральною щільністю . При затримці цього сигналу на час (при збереженні його форми) отримаємо нову функцію часу

існуючого на інтервалі від до .

Спектральна щільність сигналу

Вводячи нову змінну інтегрування , отримуємо

(2.14)

З цього співвідношення видно, що зсув у часі функції на призводить до зміни фазових характеристик спектру на величину . Очевидно і зворотне положення: якщо всіма складовими спектру функції дати фазовий зсув , лінійно-пов'язаної з частотою , то функція зсувається в часі на .

АЧХ спектру (тобто модуль спектральної щільності) від положення сигналу на осі часу не залежить.

2.3.2 Зміна масштабу часу

Нехай сигнал піддається стиску в часі. Новий стиснений сигнал пов'язаний з вихідним співвідношенням (мал.2.3) мал.2.3.

Тривалість імпульсу в разів менше, ніж вихідного, і дорівнює . Спектральна щільність стисненого імпульсу

Вводячи нову змінну інтегрування , отримуємо

Інтеграл у правій частині цього виразу є ні що інше, як спектральна щільність сигналу при частоті , тобто .

Таким чином

Отже, при стисненні сигналу в раз на тимчасовій осі у стільки ж разів розширюється і його спектр на осі частот. Модуль спектральної щільності при цьому зменшується в разів. Очевидно, що при розтягуванні сигналу в часі (тобто при ) має місце звуження спектра і збільшення модуля спектральної щільності.