4.1.5.1.2 Фазо-частотний спектр

Огинаюча ФЧС послідовності прямокутних відеоімпульсів визначається функцією

де - номер арки.

Огинаюча ФЧС представляє похилу пряму, нахил визначається безпосередньо величиною зсуву імпульсів .

Величина зрушення фази на одну арку становить кут

Тому кут нахилу огибаючої ФЧС (мал. 4.1.5) дорівнює арктангенс від величини зсуву імпульсів:

(4.1.27)

При t₀=0 кут α дорівнює нулю.

Рис. 4.1.5

4.1.5.2 Пилкоподібні коливання

З подібними функціями часто доводиться мати справу в пристроях для розгортки зображення в осцилографах (мал. 4.1.6).

Мал. 4.1.6

Так як ця функція є непарною, ряд Фур'є для неї містить тільки синусоїдальні члени. За допомогою формули (4.1.23) неважко визначити коефіцієнти ряду Фур'є. Опускаючи ці викладки, можна написати остаточний вираз для ряду

(4.1.28)

Як бачимо, амплітуда гармонік убуває за законом , де n=1,2,3,…

1. Послідовність уніполярних трикутних імпульсів

Форма імпульсу наведена на мал. 4.1.7.

Мал. 4.1.7

Ряд Фур'є для цієї функції має вигляд:

4.1.6 Розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу

Нехай сигнал (струм, напруга) являє собою складну періодичну функцію з періодом .

Енергія такого сигналу, що триває від до , нескінченно велика. Основний інтерес представляє середня потужність періодичного сигналу і розподіл цієї потужності між окремими гармоніками. Середня потужність сигналу розглянутого на всій осі часу, збігається з потужністю, середньої на один період . можна скористатися формулою:

У ній під коефіцієнтом слід розуміти коефіцієнти ряду (4.1.12), під інтервалом ортогональності - величину періоду , а під нормою - величину .

Таким чином, середня потужність періодичного сигналу

(4.1.29)

Використовуючи тригонометричну форму ряду Фур'є і враховуючи, що и , отримаємо

(4.1.30)

Якщо являє собою струм , то при проходженні його через опір виділяється потужність (середня)

де - постійна складова, а амплітуда -й гармоніки струму .

Повна середня потужність дорівнює сумі середніх потужностей, виділених окремо постійної складової і гармоніками з амплітудами . Це означає, що середня потужність не залежить від фаз окремих гармонік. Це випливає з ортогональності спектральних складових.

Лекція 4.2 Гармонійний аналіз неперіодичних сигналів. Властивості перетворення Фур'є

4.2.1 Гармонійний аналіз неперіодичних сигналів

Гармонійний аналіз періодичних сигналів можна поширити на неперіодичні сигнали. Нехай такий сигнал заданий у вигляді деякої функції, відмінної від нуля в проміжку .

(рис. 2.1)

Виділивши довільний відрізок часу , що включає в себе проміжок , ми можемо уявити заданий сигнал у вигляді ряду Фур'є

_(2.1)

де , а коефіцієнти відповідно до формули (1.14)

(2.2)

Підставивши (2.2) в (2.1), отримаємо

_(2.3)

тут враховано, що

Поза відрізком ряд (2.1) визначає функцію 0, де - ціле число, тобто періодичну функцію, отриману повторенням вправо і вліво з періодом . Для того щоб поза відрізком функція дорівнювала нулю, величина повинна бути нескінченно великою. Але чим більше відрізок , вибраний в якості періоду, тим менше коефіцієнти . Спрямовуючи до нескінченності, в межі отримуємо нескінченно малі амплітуди гармонійних становить, сума яких зображує вихідну неперіодичних функцію , задану в інтервалі (мал.2.1). Число гармонійних складових, що входять в ряд Фур'є, буде при цьому нескінченно великим, тому що при основна частота функції . Іншими словами, відстань між спектральними лініями, рівна основній частоті стає нескінченно малим, а спектр - суцільним.

Тому у виразі (2.3) можна замінити на , на поточну частоту , а операції підсумовування операцією інтегрування.

Таким чином, приходимо до подвійного інтегралу Фур'є

_(2.4)

Внутрішній інтеграл, що є функцією ,

_(2.5)

називається спектральною щільністю або спектральною характеристикою функції .

У разі, коли межі і не уточнені, спектральна щільність записується у формі

(2.6)

Після підстановки (2.6) в (2.4) отримуємо

_(2.7)

Вирази (2.6) (2.7) називаються прямим і зворотним перетворенням Фур'є.

Вираз (2.6) відрізняється від (1.14) відсутністю множника . Отже, спектральна щільність володіє всіма основними властивостями коефіцієнтів комплексного ряду Фур'є.

За аналогією з (1.15) можна написати

_(2.8)

де

(2.9)

Модуль і аргумент спектральної щільності визначається виразами

(2.10)

_(2.11)

Перше з цих виразів можна розглядати як АЧХ, а втричі як ФЧК суцільного спектру неперіодичного сигналу .

На підставі (2.8) неважко привести інтегральні перетворення (2.7) до тригонометричної форми. Маємо, аргумент функції у наступних виразах опущений:

З парності модуля і непарності фази випливає, що підінтегральна функція в першому інтегралі є парною, а в другому-непарної щодо . Отже, другий інтеграл дорівнює нулю і остаточно:

(2.12)

Зазначимо, що при вираз (2.5) переходить у наступне:

площа під кривою _.

_(2.12)

Отже для будь-якого сигналу спектральна щільність на першій частоті дорівнює "площі сигналу". Це правило корисно для швидкого виявлення структури спектру деяких сигналів.