44.1.3.2 Представлення довільного сигналу у вигляді суми елементарних коливань.
Для теорії
сигналів і їх обробки важливе значення
розкладання заданої функції
за
різними ортогональним системам функцій
.
Нескінченна система дійсних функцій:
(4.1.3)
називається
ортогональною
на відрізку
,
якщо:
,
(4.1.4)
при
.
При цьому передбачається, що:
(4.1.5)
тобто , що ніяка з функцій розглянутої системи (4.1.3) не дорівнює тотожно нулю.
Умова (4.1.4) виражає попарно ортогональність функцій системи (4.1.3). Величина
(4.1.6)
називається
нормою функції
.
Функція
,
для якої виконується умова:
,
(4.1.7)
називається
нормованою
функцією,
а система нормованих функцій
,
в якій кожні дві різні функції взаємно
ортогональні, називається ортонормованій
системою.
Якщо функції неперервні, тоді довільна кусково-неперервна функція , для якої виконується умова:
,
може бути представлена у
вигляді суми ряду:
(4.1.8)
Помножимо обидві частини виразу (4.1.8) на і проінтегруємо в межах :
Всі доданки
виду
при
перетворюються в нуль в силу ортогональності
функцій
и
.
У правій частині залишається один
доданок:
,
що дозволяє написати
Звідки випливає важливе вираз:
(4.1.9)
Ряд
(4.1.8), в якому координати
визначаються за формулою (4.1.9), називається
узагальненим рядом Фур'є. По даній
системі
.
Сукупність коефіцієнтів
називається спектром
сигналу.
в
ортогональній системі
і повністю визначає цей сигнал.
Для системи функцій приймаючих комплексні значення, наведені вище визначення узагальнюються наступним чином:
умова ортогональності:
,
при
;квадрат норми функції:
;
коефіцієнти Фур'є:
.
У цих
виразах
позначає функцію, комплексно-сполучену
функції
.
Стосовно до сигналів , що є функціями часу вираз (4.1.8) буде записуватися у формі:
Квадрат норми функції :
Таким чином, енергія сигналу:
а при
використанні ортонормованої системи
функції
:
Очевидно,
що середня за час
потужність
сигналу:
Найбільшого поширення отримала ортогональна система основних тригонометричних функцій-синусів і косинусів, перше, гармонійні функцій (гармонійні коливання) є єдиною функцією часу зберігає свою форму при проходженні через будь-яку лінійну ціп. По-друге, розкладання складного сигналу по синусах і косинусах дозволяє використовувати символічний метод, розроблений для аналізу передачі гармонійних коливань через лінійні ланцюги.
4.1.4. Гармонійний аналіз періодичних сигналів
При розкладанні періодичного сигналу в ряд Фур'є за тригонометричним функціям в якості ортогональної системи беруть:
(4.1.10)
чи
(4.1.11)
Інтервал
ортогональності в обох випадках
збігається з періодом
функції
.
Система функцій (4.1.10) призводить до тригонометричної форми ряду Фур'є, а система (4.1.11) - до комплексної форми.
Ряд Фур'є можна записати у формі (використовуємо вираз (4.1.11):
(4.1.12)
Сукупність
коефіцієнтів
ряду Фур'є в базисі тригонометричних
функцій називається частотним спектром
періодичного сигналу. Коефіцієнти ряду
(4.1.12)
легко визначаються за допомогою формул
(4.1.9).
Норма базису:
(4.1.13)
Таким
чином незалежно від
.
Використовуючи (4.1.9) отримуємо:
(4.1.14)
У виразах
(4.1.13) і (4.1.14) врахуємо, що функції
відповідає комплексно-сполучена функція
Коефіцієнти
в загальному випадку є комплексними
величинами. Підставивши в (4.1.14)
отримаємо:
(4.1.15)
Косинусна (дійсна) і синусна (уявна) частини коефіцієнта визначаються формулами:
(4.1.16)
Коефіцієнти часто буває зручно записати у формі
(4.1.17)
де
(4.1.18)
Загальний вираз (1.12) можна привести до вигляду
(4.1.19)
Перейдемо до тригонометричної формі ряду Фур'є:
(4.1.20)
Звідси видно, що при переході до тригонометричної форми ряд (4.1.19) необхідно записати наступним чином:
(4.1.21)
Замість виразу (1.21) часто зустрічається наступна форма запису:
(4.1.22)
причому
З зіставлення
виразів (4.1.22) і (4.1.21) видно, що амплітуда
-й
гармоніки
пов'язана з коефіцієнтом ряду (4.1.19)
співвідношенням
а
Таким
чином, для всіх позитивних значень
(включаючи і
)
(4.1.23)
Дві характеристики - амплітудна і фазова, тобто модулі та аргументи комплексних коефіцієнтів ряду Фур'є, повністю визначають структуру частотного спектра періодичного коливання.
Спектр
періодичної функції називається
лінійчатим або дискретним, тому що
складається з окремих ліній, відповідних
дискретним частотам
і
т.д. (мал. 4.1.2).
Рис. 4.1.2
Використання для гармонійного аналізу складних періодичних коливань рядів Фур'є в поєднанні з принципом наповнення являє собою ефективний засіб для вивчення впливу лінійних ланцюгів на проходження сигналів.