7.5 Спектр сигналу з кутовою модуляцією при довільному значенні індексу модуляції

Для випадку одно тонального ЧМ- або ФМ-сигналу можна знайти загальний вираз спектру, справедливе при будь-якому значенні індексу модуляції .

З математики відомо, що експонента з уявним показником статечного виду, періодична на відрізку , розкладається в комплексний ряд Фур'є:

, (7.12)

де - будь-яке дійсне число; - функція Бесселя -го порядку (індексу) від аргументу .

Підставляючи перепишемо вираз (7.9) так

_{. (7.13)}

Звідси отримуємо математичну модель ЧМ- або ФМ-сигналу з будь-яким значенням індексу модуляції:

_{. (7.14)}

Спектр одно тонального сигналу з кутовою модуляцією в загальному випадку містить нескінченне число складових частоти яких дорівнюють ; амплітуди цих складових пропорційно значенням .

Функції Бесселя з позитивними і негативними індексами пов'язані між собою:

.

Тому початкові фази бічних коливань з частотами і збігаються, якщо - парне число і відрізняються на , якщо - непарне.

Важливо відзначити, що із зростанням індексу модуляції розширюється смуга частот, займана сигналом. Зазвичай вважають, що припустимо знехтувати всіма спектральними складовими з номером . Звідси випливає оцінка практичної ширини спектра сигналу з кутовою модуляцією

. (7.15)

Лекція №8

Основні характеристики випадкових процесів. Види випадкових процесів.

8.1. Випадкові величини та їх характеристики.

Щоб фізична система могла виконувати певні функції, до неї має бути докладено вимушений вплив (вхідний сигнал). В окремих випадках при аналізі таких систем можна розглядати вхідні сигнали як детерміновані, і які мають просте математичне уявлення. Однак на практиці такі сигнали рідко зустрічаються. Навпаки, поведінка вхідного сигналу найчастіше невизначено і непередбачено, у зв'язку з чим його слід розглядати як випадковий. Є безліч таких прикладів: мовні сигнали; випадкові сигнали, отримані в ході вимірювання деяких характеристик і т.д.

На входах і виходах багатьох систем, крім корисних сигналів присутні і небажані обурення. Вони майже завжди випадкові за своєю природою. Якщо, наприклад, сигнал з виходу підсилювача з великим коефіцієнтом підсилення подається на гучномовець, то останній тріски, шарудіння і клацання.

Радіоприймач може приймати антеною перешкоди, пов'язані з роботою промисловості і транспорту; електромагнітних бур; космічних променів.

Отже, якби навіть і можна було створити ідеальні приймачі та підсилювачі, прийнятий сигнал все одно виявився б змішаним з шумом. І знову визначення середньої потужності і частотного спектра може принести велику користь, ніж миттєве значення сигналу.

Так само, як і детерміновані випадкові величини мають свої характеристики.

Ймовірність. З усіх підходів до визначення ймовірності найчастіше використовують два: відносно-частотний і аксіоматичний.

В основі теорії ймовірностей лежить поняття повної безлічі "елементарних фіналів" або випадкових подій

. Кожній події складено дійсне число , яке називається ймовірністю цієї події.

Приймаються наступні аксіоми:

1. ймовірність не негативна і не перевищує одиниці: ;

2. якщо и - несумісні події, то ;

3. сума всіх подій, що містяться в , є достовірна подія:

Вимірювання ймовірностей. Загально прийнято оцінювати ймовірність події відносної частоти сприятливих результатів. Якщо проведено незалежних випробувань, причому в з них спостерігалася подія , емпірична (вибіркова) оцінка ймовірності , яку можна отримати з цієї серії, така:

. (8.1)

Функція розподілу і щільність ймовірності.

Нехай - випадкова величина. Опис статистичних властивостей можна отримати, розташовуючи невипадковою функцією дійсного аргументу, яка дорівнює ймовірності того, що випадкове число з прийме значення, рівне або менше конкретного :

.

Функція називається функцією розподілу випадкової величини . Якщо може приймати будь-які значення, то є гладкою не спадною функцією, значення якої лежить на відрізку . Мають місце такі граничні рівності:

.

Похідна від функції розподілу є щільність розподілу ймовірності (або щільність ймовірності даної випадкової величини.

Очевидно, що , тобто величина є ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал .

Для неперервної випадкової величини щільність ймовірності являє собою гладку функцію.

Щільність ймовірності повинна бути невід’ємною: і задовольняти умові нормування

.

Усереднення. Моменти випадкової величини. Результатами експериментів над випадковими величинами, як правило, служать середні значення тих чи інших функцій від цих величин. Якщо - відома функція від , то, за визначенням, її середнє значення

(8.2)

Слід зауважити наступне: найбільший внесок у середнє значення дають ті ділянки осі , де одночасно великі як усереднена функція , так і щільність ймовірності .

В електроніці широко застосовуються особливі числові характеристики випадкової величини, звані моментами. Момент -го порядку випадкової величини є середнє значення -й ступеня випадкової змінної:

. (8.3)

Простими є моменти першого порядку, математичне сподівання

, , (8.4)

яке служить теоретичною оцінкою середнього значення випадкової величини (в електроніці це постійна складова напруги або струму).

Момент другого порядку

, (8.5)

Є середнім квадратом випадкової величини.

Використовуються також центральні моменти випадкових величин, що задаються наступною формулою:

,

. (8.6)

Найважливіший центральний момент - так звана дисперсія.

, (8.7)

Очевидно, що

. (8.8)

Величина , тобто квадратний корінь з дисперсії, називається середнім квадратичним відхиленням, яке служить для кількісного опису заходи розкиду результатів окремих випадкових випробувань.

Рівномірний розподіл. Нехай деяка випадкова величина може приймати значення, що належать лише відрізку , причому ймовірність попадання в будь-які внутрішні інтервали однакової ширини рівна. Тоді щільність ймовірності

Функцію розподілу знаходять шляхом інтегрування:

Математичне сподівання

Природно збігається з центром відрізка .

Дисперсія випадкової величини, що має рівномірний розподіл ймовірності

.

Гаусовий (нормальний) розподіл. У теорії випадкових сигналів фундаментальне значення має гаусова щільність ймовірності

, (8.9)

містять два числових параметра и . Графік цієї функції являє собою дзвіноподібну криву з єдиним максимумом в точці (мал.8.1)

Мал.8.1

Безпосереднім обчисленням можна переконатися, що параметри гаусового розподілу мають сенс відповідно математичного сподівання і дисперсії: .

Функція розподілу гаусової випадкової величини

.

Заміна змінної дає

. (8.10)

Тут - не елементарна функція, так званий інтеграл ймовірностей:

.

Графік функції (мал.8.2) має вигляд монотонної кривої, що змінюється від нуля до одиниці.

Мал.8.2

Щільність ймовірності функції від випадкової величини.

Нехай - випадкова величина, пов'язана з однозначною функціональною залежністю виду . Потрапляння випадкової точки в інтервалі шириною і потрапляння випадкової точки в інтервал, що йому відповідає шириною (мал.8.3) є еквівалентними подіями, тому ймовірності їх збігаються: .

Мал.8.3

Звідси

, (8.11)

де - функція, обернена по відношенню до .

Якщо функціональний зв'язок між і неоднозначний, так, що є декілька зворотних функцій , то формула (8.11) узагальнюється наступним чином:

. (8.12)

Характеристична функція. У теорії ймовірностей велику роль грає статистичне середнє виду

, (8.13)

зване характеристичної функцією випадкової величини . З точністю до коефіцієнта функції є перетворення Фур'є від щільності ймовірності, тому

. (8.14)

Для випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку ,

; (8.15)

для гаусової випадкової величини із заданими

. (8.16)

За допомогою характеристичної функції зручно знаходити щільність ймовірності випадкової величини, підданої функціональному перетворенню.