4.1.3 Швидке перетворення Фур'є в базисах Уолша.
ДПФ в базисі дискретних експоненційних функцій (ДЕФ) передбачає виконання великого числа комплексних множень, вимагають істотних витрат машинного часу, що обмежує можливість його практичного застосування. Існує широкий клас систем базисних функцій, у яких перетворення Фур'є зводиться до алгебраїчних перетворень над дискретними відліками. До такого класу відносяться функції Уолша. Найбільше застосування знайшли функції Уолша, Уолша-Адамара, Уолша-Пелі.
Розглянемо ДПФ в базисі функцій Уолша-Адамара.
Базис Уолша-Адамара вводиться за допомогою т.зв. матриць Адамара, які будуються на підставі наступного рекурентного правила
Позначаючи
через
матрицю Адамара розмірності
,
дискретний спектр можна записати в
матричній формі наступним чином
(4.10)
де
-
вектор-стовпець
вхідного сигналу,
-
вектор-рядок
дискретного спектру.
Поведемо
обчислення
в базисі Уолша-Адамара для
.
Складемо
матрицю Адамара
Легко переконатися в тому, що до матриці Адамара можна прийти, вважаючи в дереві БПФ всі вагові коефіцієнти ребер графа рівні 1.
Операція "метелик" зводиться до обчислень
тобто процесор Фур'є в базисі Уолша-Адамара обчислює дискретний спектр використовуючи лише найпростіші арифметичні операції підсумовування і віднімання відліків сигналу.
На ряду з базисом Уолша-Адамара існують базис Уолша-Пелі і класичний базис Уолша.
Лекція№5
1. Кореляційний аналіз детермінованих сигналів.
Взаємний енергетичний спектр сигналів
Характеристика сукупності двох сигналів визначається виразом
,
(5.1)
Їх скалярний добуток, пропорційне взаємній енергії цих сигналів.
Якщо
сигнали тотожно збігаються, тобто коли
,
то скалярна сума переходить в енергію
сигналу
.
Знайдемо зв'язок між скалярним добутком сигналів і їх спектральними щільностями.
Покладемо,
що обидва сигнали
і
у співвідношенні (5.1) задані відповідними
спектральними щільностями
и
.
Згідно зворотному перетворенню Фур'є
маємо
;
.
Підставимо запис сигналу у вираз (5.1)
,
а потім змінивши порядок інтегрування в часі і частоті отримаємо
.
Внутрішній інтеграл в останній формулі-це спектральна щільність сигналу , обчислена при заперечності значень аргументу, тобто
.
Далі будемо вважати, що розглянуті сигнали описуються дійсними функціями часу. тоді
,
(5.2)
Де
-
спектральна
щільність, комплексно-сполучена з
спектральної щільністю
.
Співвідношення (5.2) називається узагальненою формулою Релея (або рівністю Парсеваля).
Якщо у вираз (5.1) сигнал запишемо зворотним перетворенням Фур'є, то отримаємо:
.
(5.3)
Із зіставлення виразів (5.2) і (5.3) маємо, що скалярний добуток двох сигналів (або взаємна енергія двох сигналів) прямо пропорційно скалярному добутку спектральних щільностей цих сигналів, причому спектральна щільність одного з сигналів повинна бути представлена в комплексно-сполученній формі.
Коефіцієнтом
пропорційності є множник
.
Оскільки
для будь-якого комплексного числа
,
то можна ввести дійсну функцію
,
(5.4)
яка
дозволяє висловити скалярний добуток
речових сигналів
и
наступним
чином:
.
(5.5)
Функцію
називають взаємним енергетичним спектром
сигналів
и
:
Взаємний енергетичний спектр двох сигналів дорівнює дійсній частині добутку спектральної щільності одного з сигналів і комплексно-сполученої спектральної щільності іншого сигналу
Формула (5.5) розкриває структуру зв'язку двох сигналів. Виявляється, що у формуванні взаємної енергії різні ділянки спектру сигналів грають у загальному випадку неоднакову роль. Найбільший внесок забезпечують ті частотні області, в яких спектри сигналів перекриваються.
Із співвідношень (5.4) і (5.5), зокрема, випливає, що якщо спектральні щільності сигналів и не перекриваються на осі частот ,то як взаємний енергетичний спектр , так і скалярний добуток цих сигналів стає рівним нулю. Такі сигнали називаються ортогональними.
Прикладом ортогональних сигналів слугують сигнали і спектральні щільності яких зображені на мал.5.1.
Мал.5.1
Очевидно, що ортогональними є так само сигнали і , не перекриваючі в часовому просторі (мал.5.2).
Мал.5.2
Енергетичний спектр сигналу
Спектральне уявлення енергії сигналу легко отримати, як окремий випадок узагальненої формули Релея (5.3). Так, якщо сигнали і однакові і , то формула (5.3) набуває вигляду
.
Ліва
частина даного виразу дорівнює енергії
сигналу
,
тобто
,
а добуток спектральних густин у правій частині
Являє собою дійсну функцію, рівну квадрату модуля спектральної щільності сигналу , тобто
.
З вироблених співвідношень випливає, що енергетичний спектр сигналу дорівнює квадрату модуля його спектральної щільності
,
(5.6)
а повна енергія сигналу пов'язана з його енергетичним спектром співвідношенням
.
(5.7)
Вираз (5.7) констатує важливий результат: енергія будь-якого сигналу може бути представлена як результат підсумовування вкладів енергій гармонік сигналу, розташованих у непересічних частотних інтервалах його енергетичного спектра.
При вивченні сигналів за допомогою їх енергетичних спектрів неминуче втрачається інформація, яка укладена в фазовому спектрі, оскільки енергетичний спектр є квадрат модуля спектральної щільності і не залежить від її фази. Зокрема, при енергетичному підході всі сигнали, однакові за формою, але розрізняються своїм розташуванням на осі часу, виступають як абсолютно рівноправні і не різні сигнали.
Автокореляційна функція
Для
кількісного визначення ступеня відзнаки
сигналу
та його зміщеною в часі копії
прийнято вводити автокореляційну
функцію (АКФ) сигналу
,
рівну скалярному добутку сигналу і
копії:
.
(5.8)
Надалі будемо припускати, що досліджуваний сигнал має локалізований у часі імпульсний характер, так, що інтеграл виду (5.8) завідомо існує.
Безпосередньо
видно, що при
автокореляційна
функція стає рівною енергії сигналу:
.
(5.9)
До числа найпростіших властивостей АКФ можна віднести її парність:
.
(5.10)
Важлива
властивість АКФ полягає в наступному:
при будь-якому значенні тимчасового
зсуву
модуль АКФ не перевершує енергії сигналу:
.
(5.11)
Цей факт безпосередньо випливає з нерівності Коші-Буняковського
.
(5.12)
АКФ представляється симетричною кривою з центральним максимумом, який завжди позитивний. При цьому залежно від виду сигналу АКФ може мати монотонно спадаючий характер, так і коливний характер.
Зв'язок між енергетичним спектром сигналу і його автокореляційною функцією
Автокореляційна
функція
сигналу
у виразі (5.6) є функція часу
.
Тому може скластися враження, що методи
кореляційного аналізу виступають, як
деякі особливі методи, які не мають
прямого зв'язку зі спектрами сигналів.
Однак існує тісний зв'язок між АКФ і
енергетичним спектром сигналу.
Дійсно АКФ є скалярний добуток
,
де
.
Скориставшись узагальненою формулою Релея (5.3), можна записати рівність
.
Спектральна щільність зміщення у часі сигналу
і
тому
.
Таким чином, приходимо до важливого результату:
.
Квадрат модуля спектральної щільності являє собою енергетичний спектр сигналу, тобто
Отже, енергетичний спектр і автокореляційна функція сигналу пов'язані зворотним перетворенням Фур'є
,
(5.13)
а отже, існує і пряме перетворення Фур'є:
.
(5.14)
Вирази (5.13) і (5.14) утворюють пару інтегральних перетворень Фур'є для автокореляційної функції сигналу і його енергетичного спектра.
Зв'язок
між АКФ і енергетичним спектром
представляє встановити зовсім очевидний
критерій існування сигналу із заданими
кореляційними властивостями. Енергетичний
спектр
будь-якого сигналу
,
за визначенням має бути позитивним.
Дана умова буде виконуватися не при
будь-якому виборі АКФ. Наприклад, якщо
взяти
,
(тобто
АКФ являє собою прямокутний імпульс
амплітудою
і тривалістю
)
і обчислити відповідне перетворення
Фур'є, то виявляється, що
.
Ця знакозмінна функція не може представляти собою енергетичний спектр сигналу, оскільки енергія не може приймати від'ємних значень.
Взаємокореляційна функція двох сигналів.
Принцип визначення взаємокореляційної функції: узагальнюючи вираз (5.8), назвемо взаємокореляційною функцією двох дійсних сигналів и скалярний добуток вигляду.
.
(5.15)
Доцільність подібної інтегральної характеристики сигналів видно з наступного прикладу. Нехай сигнали і в початковому стані ортогональні, так, що
При проходженні цих сигналів через різні пристрої можливо, що сигнал буде зміщений щодо сигналу на деякий час . Ясно, що ВКФ служить мірою "стійкості" ортогонального стану при зміщеннях сигналів у часі.
Взаємокореляційна функція єдиним чином описує як різницю в формі сигналів, так і їх взаємне розташування на осі часу.
Деякі
властивості взаємокореляційної
функції.
Якщо у формулі (5.15) замінити змінну
інтегрування, ввівши
, так що
, то очевидно, можливий і такий запис:
.
(5.16)
Тому
.
(5.17)
На відміну
від АКФ одиночного сигналу ВКФ, що описує
властивості системи двох неоднакових
сигналів, не є парною функцією аргументу
:
.
Якщо сигнали мають кінцеві енергії, то їх ВКФ обмежена. Це твердження випливає з нерівності Коша-Буняковського:
,
Звідки
,
(5.18)
Так як зміщення сигналу в часі не впливає на значення його норми.
Слід
відзначити те, що при
значення ВКФ не зобов'язані досягти
максимуму.
Зв'язок ВКФ із взаємною спектральної щільністю
Висловимо ВКФ двох сигналів через їх спектральні характеристики.
На підставі узагальненої формули Релея
І оскільки спектр зміщеного в часі сигналу
,
то
.
(5.19)
Маючи на
увазі, що величина
є взаємний енергетичний спектр сигналів
і
,
визначений у нескінченному інтервалі
частот
,
приходимо до висновку: взаємокореляційна
функція і взаємний енергетичний спектр
двох сигналів пов'язані парою перетворень
Фур'є.
Лекція№6
Модульовані сигнали. Спектри модульованих сигналів.
Сигнали, що надходять з джерела повідомлень, як правило, не можуть бути безпосередньо передані по радіоканалу. Справа не тільки в тому, що ці сигнали недостатньо великі по амплітуді. Набагато істотніше їх відносна низькочастотність. Щоб здійснити ефективну передачу сигналів в якій-небудь фазі, необхідно перенести спектр цих сигналів з низькочастотної області в область досить високих частот. Дана процедура має назву модуляції.