4.1.1 Амплітудно-фазові характеристики частотних каналів дпф

Процесор ДПФ володіє частотними властивостями. Зокрема, якщо частота вхідного сигналу збігається з однією з резонансних частот процесора, відповідний частотний канал буде володіти максимальним відгуком, тоді як відгук всіх інших каналів будуть рівні нулю. Якщо частота вхідного сигналу відхилиться від резонансної, то відгук даного каналу ослабне і одночасно з'явиться "дзвін" в усіх частотних каналах.

Виберемо деякий -й з частотних каналів і визначимо його реакцію на дискретний комплексно-експонентний сигнал при зміні частоти сигналу від до (від до частоти дискретизації).

Введемо аналітичний опис цього дискретного сигналу. Введемо тимчасову функцію для аналогового прототипу сигналу

(4.4)

причому змінюється від до .

Переходячи в (4.4) від безперервного часу к дискретного часу і вважаючи, що , де , отримаємо

(4.5)

де - частота дискретизації.

Вважаючи обсяг вибірки заданим визначимо комплексним відгуком - го каналу за формулою

(4.6)

де ,

(4.7)

а задано співвідношенням (4.5)

Підставляючи (4.7) і (4.6) в (4.6), отримаємо

(4.8)

Позначивши - частотний рознос каналів процесора Фур'є перетворимо (4.8) до вигляду

(4.9)

Співвідношення (4.9) повністю визначає як амплітудно-частотну так і фазо-частотну характеристику каналу процесора Фур'є.

4.1.2 Швидке перетворення Фур’є

Класичні форми прямого і зворотного ДПФ хоча і прості і легко реалізовані на ЕОМ, проте їх практичне застосування обмежується великим обсягом обчислень, які ростуть в квадратичній залежності від обсягу вибірки. .

Існують різні способи збереження обсягу обчислень спектра, які призводять до так званого алгоритму швидкого перетворення Фур'є (ШПФ). Алгоритми ШПФ засновані на усуненні надмірності обчислень в класичному ДПФ.

Ця надмірність проглядається в періодичності фазового множника при якій

, в силу того, что

Не торкаючись теоретичних основ побудови ШПФ перейдемо до викладу основних етапів перетворення, які призводять до ШПФ із проріджуванням за часом.

Найбільш проста форма ШПФ виходить при рівному степеню 2, тобто коли . Число показує кількість ступенів перетворення.

Етап 1. Вхідні відліки тимчасової функції (при ) піддається двійковій-інверсній перестановці (ДІП). Ідея ДІП полягає в наступному: двійковий код номера відліку переставляється, формуючи новий номер відліку:

Етап 2. Формується дерево ШПФ, спосіб побудови якого для и зображено на мал.4.1 і мал.4.2

мал.4.1

мал.4.2

основу дерева ШПФ складають так звана операція типу "метелика", яка відображена на мал.4.3, на ньому ж представлений алгоритм роботи "метелика".

мал.4.3

Етап 3. Реалізація операцій "метелика" послідовно по щаблях, починаючи з "молодшої".

Мнемонічне правило розстановки ваг ребер операцій типу "метелика" полягає в наступному: число показників степеня, починаючи з нульової фазового множника останнього щабля перетворення одне , де - обсяг вибірки, наприклад, для 8-точкового ШПФ цим і множниками є

Для попередньої щаблі дерева ряд вагових коефіцієнтів проріджується за рахунок викидання парних множників. У результаті такого проріджування залишаються множники і нарешті на першому щаблі перетворення залишається лише один фазовий множник (рис.4.2)

Для прикладу обчислимо по дереву ШПФ (мал.4.2)

Розрахуємо за алгоритмом ДПФ

Ці вирази збігаються тому, що

так як вагові коефіцієнти періодичні (мал.4.4)

мал.4.4