Числові ряди

1.Основні поняття

Означення 1. Послідовністю називається функція, яка визначена на множині натуральних чисел: . Число називається –м членом послідовності й позначається , або .

Для послідовності використовуються позначення

; .

Наприклад 1.

2.

Означеня 2.Нехай - послідовність дійсних чисел. Рядом, який породжується послідовністю називається вираз

₍₁₎

- n-та часткова сума ряду (1)–це сума перших його членів. Утворимо послідовність

_{……………………..}

_{……………………..}

Означеня 3Якщо існує границя ,то ряд (1)називається збіжним,а число S називається його сумою.Якщо границі не існує ,то ряд (1) називається розбіжним.та суми не має

Якщо ряд (1) збігається до S , то величина називається n-тим залишком ряду. Очевидно,що є також збіжним рядом,причому

Приклад 1. Геометричний ряд збігається,якщо

і розбігається при . Дійсно, .

Таким чином ,при і отже, .

Якщо послідовність скінченоі границі не має.Таким чином, ряд при розбігається.

Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається, то –й член ряда прямує до нуля при

.

Наслідок. Якщо , то ряд (1) розбігається

Приклад 2.Дослідити на збіжність ряди: а) б) .

Розв’язання а)Ряд розбігається оскільки

б) . Розглянемо часткову суму

.

Отже, ряд б) збігається та його сума дорівнює .

Зауважимо, що знайти точне значення суми ряда вдається рідко.

Дослідження рядів звичайно провадиться в два етапи;

1.З’ясовується, чи збігається ряд.

2.Обчислюється точно або наближено його сума.

На відміну від обчислення суми ряда задача про з’ясування його збіжності є набагато ростішою та розв’язується за допомогою теорем порівняння та ознак збіжності.

Якщо ряди збігаються, то їх можна множити на числа або додавати.

Теорема 2. Якщо ряди збігаються, то збігається ряд та його сума

Зокрема,

2.Теореми порівняння

Теореми порівняння дозволяють для рядів з додатними членами зробити висновок про поведінку ряду без обчислення частковоі суми .

Для застосування теорем порівняння потрібні еталонні ряди, з якими проводиться порівняння. Такими рядами є геометричний ряд, розглянутий в п.1 та гармонічний ряд

(1)

Теорема 3.Перша теорема порівняння. Нехай є два додатніх ряди (2)

Якщо , то із збіжності ряду (B) випливає збіжність ряду (A) ,а із розбіжності ряду (A) випливає розбіжність ряду (B) .

Приклад1. Дослідити на збіжність ряд (А-1) . Розв’язання. =

. Ряд (А-1) збігається за теоремою 3 , оскільки ряд збігається

як гармонічний .

Теорема 4.Друга, гранична теорема порівняння.1.Якщо

, (3)

де С –стала, то при ряд (A) збігається ,а при розбігається.

2.Якщо (4)

то ряд (A) збігається .

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряди: а):(А-2) .б) (А-3) .

Розв’язання.а) .Тут . За теоремою 4 ряд (А-2) розбігається.

б) . Оскільки геометричний ряд збігається,, , то ряд (А-3) збігається.