Елементи фінансової математики
Сукупність методів аналізу фінансових опрацій від простого начислення відсотків до складних кредитних та комерційних операцій та потоків платежів складають предмет фінансової математики.
1.Формули нарощення по простим відсоткам
Якщо ставка відсотку застосовується до однієї й тієї ж початкової суми на протязі всього строку дії кредиту(позики), то такі відсотки називаються простими відсотковими ставками. Формула нарощення по простим %:
,
(1.1)
де
-початкова
сума,
-нарощена
сума
(нагромаджена сума), і-ставка
%;
– сума
%
(відсотковий прибуток, доход), n-кількість
періодів начислення.
З формули(1) випливають такі наслідки:
,
(1.
)
це обчислення початкової суми по даній сумі називається дисконтуванням суми (дисконт –знижка, скидка). Величина , знайдена дисконтуванням, називається сучасною величиною або поточною вартістю суми .
,
(1.
)
(1.
)
Приклад 1.Фірма взяла у банку кредит 250000гр., терміном на 5 років під прості 12%. Визначити скільки грошей фірма поверне банку через 5 років та прибуток, який отримає банк..
Розв'язання: За умовою n=5, p=250000, i=0.12. За формулою (1.1)
=
250000(1+5
0.12)
=
400000
(гр.)
Прибуток
банку
=
400000-250000=150000 (гр.)
Приклад2:Визначити через скільки років нагромадження від суми p=20000 гр., виданої під прості 10% річних становить 5000 гр.
Розв'язання:
За формулою(1.
)
(року)
Приклад 3: Визначити, при якій відсотковій ставці відсоток від суми 48000гр. становить 2500гр, якщо кредит видано на 5 місяців.
Розв'язання:
=48000гр,
=2500,
.
За
формулою (1.
):
2.Формула нарощення по складним відсоткам
Проценти називаються складними, якщо нарахування на вклад банк веде не від суми початкового вкладу, а з урахуванням попередніх процентних нагромаджень.
Нехай
початкова сума дорівнює
,
тоді через рік сума з приєднаними
відсотками становитиме
(1+і),
через 2 роки
,
через
років
Таким чином, формула
нарощення для складних відсотків
,
(2.1)
де
–множник
нарощення. Така процедура начислення
відсотків на відсотки називається
капіталізацією.
З формули
(2.1) випливає формула обчислення початкової
суми
,відсотка
та розміру
позики
(2.
)
,
(2.
)
(2.
)
Формула
(2.1) у випадку
платежів
протягом року є такою
(2.3)
З формули (2.3) випливає, що
.
(2.
)
Величина , одержана дисконтуванням (формули (2. ) ,(2. ) ), називається сучасною або поточною вартістю або приведеною величиною суми .
Приклад 1. Фірма вклала в банк 50000гр. Визначити, яку суму виплатить банк фірмі через 10 років при річній ставці 3%.
Розв'язання: =50000 гр, і =0.03, n=10. По (2.1)
.
Приклад 2.Через 5 років за кредит, який видано у розмірі 10000гр банк отримав 30550гр. Під яку процентну ставку видано кредит?
Розв'язання:
.За
формулою (2.
)
