2 Жер эллипсоидының геометриясы

Жер эллипсоиды деп пішіні мен өлшемдері қандай да болмасын нақтылық дәрежеде Жердің пішіні мен өлшеміне сәйкес келетін айналу эллипсоидын айтады.

2.1-сурет-Жер эллипсоиды

Жер эллипсоидының беті эллипстың кіші өсін айнала қозғалуымен түзіледі.

РО= b кіші жарты өсі,

ОЕ =a үлкен жарты өсі.

Мұндай эллипсоидтың теңдеуін каноникалық формада келесі түрде жазамыз:

(2.1)

Кординаталардың айналу өсі ретінде симметрия өстері алынған. Бұл кезде XOY, XOZ, YOZ координата жазықтары симметрия жазықтары болып табылады. С- бұл қисықтың номерлі радиусі.

Қазіргі уақытта +- 1м дейін нақтылықпен үлкен жарты өсі анықталған, қалған шамалар есептеліп шығарылған

Сығылу (2.2)

Бірінші эксцентриситет (2.3)

Екінші эксцентриситет (2.4)

Бірінші эксцентриситетті басқаша меридиональді эксцентриситет деп атайды.

Қосымша шамалар (2.5)

(2.6)

Мұндағы n –параллель бойынша масштабтың өзгеру көрсеткіші;

m – масштабтың меридиан бойынша өзгеруі.

, , , , (2.7)

, . (2.8)

Красовский эллипсоидының параметрлері:

а = 6,378245000м  10м, (2.9)

b = 635686301877м,

с = 639969890178м.

Жер эллипсоидының салыстырмалы элементтері:

 = 0,003352329869, (2.10)

l² = 0.006693421623, (2.11)

(2.12)

l^/2 = 0.006738525415. (2.13)

Рен – фактілік және нақтылы бөлу арасындағы айырмашылық болып табылады. Фактілік – суреттен көретініміз. Нақтылық өлшеу кезінде болуы керек.

2.1 Геодезияда қолданылатын координаталар жүйесі

А) Геоцентрлік координаталар жүйесі (гео-Жер)

2.2 -сурет- Геоцентрлік координаттар жүйесі

Эллипсоидтің кіші өсін Z өсі ретінде қабылдаймыз. X өсі бас меридианның жазығында жатады және Z өсіне перпендикуляр.

Zм = ММ₁ (2.14)

Xм = ОМ₂

Yм = М₁М₂

Геоцентрлік координаттар жүйесі геодезияда үлкен қашықтықты міндеттерді шешу үшін қабылданады (планеталардың және Жердің жасанды серіктерінің орбитасын анықтау үшін.

Б) Кеңістіктік тікбұрышты координаттар жүйесі

Координаттар басы деп эллипсоид бетінде орналасқан А нүктесін қабылдаймыз. Z өсі деп А нүктесіне нормальді қабылдаймыз.

2.3 -сурет- Кеңістіктік тікбұрышты координаттар жүйесі

Х өсі Z өсіне перпендикуляр және солтүстікке бағытталған.

Y өсі Х өсіне перпендикуляр және шығысқа бағытталған.

Z өсі осы аймақтың өстік меридианымен параллель немесе сәйкес келеді.

М нүктесін Жердің физикалық бетінде алайық. Нүктені эллипсоид бетіне проекциялаймыз және М₁ деп белгілейміз.

Z = М₁ М₁^/

X = А М₂

Y = А М_3. (2.15)

Кеңістіктік тікбұрышты координаттар жүйесі аз арақашықтықты есептерді шешу үшін қолданылады, яғни референц эллипсоидтың бетінде.

В) Меридиан жүйесіндегі тікбұрышты координаттар жүйесі

2.4 -сурет- Меридиан жүйесіндегі тікбұрышты координаттар жүйесі

Х = ОМ (2.16)

Y = ОМ₂. (2.17)

Г) Қисықсызықты координаттар жүйесі

Қисықсызықты коодинаттар жүйесі үшін келесі шарттар орындалады:

1. Бір ортаның әр сызығы басқа ортаның сызығымен қиылысқанда бетте тек бір нүктені ғана беруі керек.

2. Бір ортаның сызықтары эллипсоид бетінде қиылыспауы керек.

2.5 -сурет- Қисықсызықты координаттар жүйесі

КК₁ – эллипсоидты қиып өтетін жазықтық.

Қиылысу кезінде эллипстерді аламыз. Полюстер арасында орналасқан әр эллипстің жартысы меридиандар РКР₁ деп аталады.

Егер жер эллипсоидын айналу өсіне перпендикуляр жазықтықтармен кесіп өтсе онда шеңбердің жартысы параллельдер деп аталады.

Қисық сызықты координаттар жүйесін анықтау үшін меридиандардың біреуін бастапқы (гринвичтық) деп қабылдайық. Егер оны бастапқы деп қабылдасақ онда басқа меридианның екіжақты бұрышпен анықталады.

2.6-сурет- Бойлық пен ендікті анықтау

Бойлық L деп бастапқы меридиан және нүктелер арқылы өтетін меридианның жазықтарымен түзілген екіжақты бұрыш аталады.

Сонымен меридиан дегеніміз барлық нүктелерінде бойлық тұрақты болатын координатты сызық М (L,B). Егер М нүктесі арқылы нормаль жүргізсек, онда ол айналу осін N нүктесінде қиып өтеді, нормаль қиылысуы ОК – Д нүктесі.

Ендік деп экватор жазықтығынан саналатын өткір бұрыш аталады.

2.7-сурет- географиялық бойлық, географиялық ендік

 –географиялық бойлық

 – географиялық ендік

М(, )

Тік сызық бойынша проекциялауды тағы да деңгейлік беттегі астрономиялық координаттары деп атайды.

М^/М = Н – нүктенің ортометриялық биіктігі. М нүктесі арқылы өтетін меридианның жазықтығы.

2.8 –сурет - Ф – геоцентрлік ендік.

Сонымен геоцентрлік ендікті де пайдалануға болады.

С кіші жартыөсімен М нүктесінің қиылысу өсі СМ=а

И = келтірілген ендік;

Деңгейлік беттің радиусы

R=6378-6400км±100км. (2.18)

; (2.19)

мұндағы е^/ - екінші эксцентриситет

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

2.9 –сурет- Геоцентрлік ендіктің геодезиялық және келтірілген ендіктермен байланысы

(2.24)

(2.25)

r – параллель радиусы

(2.26)

Жер және референц эллипсоид үшін қарастырылады

(2.27)

Жүйелерді III және IV класс үшін теңестіру.

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

. (2.32)

Жазықтықты координаттар жүйесі

2.10 –сурет- Жазықтықты координаттар жүйесі

Румб деп жақын солтүстік немесе оңтүстік бағыттан саналатын өткір бұрыш аталады.

Аймақтық координаттар жүйесі

2.11 –сурет- Аймақтық координаттар жүйесі

X – аймақтың осьтік меридианы

Жазық полярлы координаттар жүйесі

в – көлденең бұрыш;

S – арақашықтық.

Д) Қисықсызықты координаттар жүйесі

Қисықсызықты координаттар жүйесі үшін келесі шарттар орындалады:

1. Бір ортаның әр сызығы басқа ортаның сызығымен қиылысқанда бетте тек бір нүктені ғана беруі керек.

2. Бір ортаның сызықтары эллипсоид бетінде қиылыспауы керек.