2.5. Методика обучения сложению и вычитанию

многозначных чисел

Так как предполагается, что алгоритмом письменного сложения и вычитания учащиеся овладели в концентре «Тысяча», то тема «Сложение и вычитание многозначных чисел» в учебнике М4М (ч. 1, с. 67) начинается с установки: Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.

Объясни, как выполнено сложение и вычитание:

₊3 126 _25 346

4 292 3 407

7 418 21 939

Перед рассмотрением случаев сложения и вычитания чисел с нулями в середине или на конце целесообразно повторить действия с 0:

Объясни, что обозначают записи в рамках.

в+0=в

0+с=с

а-0=а

Далее дети вычисляют значения выражений вида:

₊528 047 _ 320 260

106 875 21 476

Позднее учащиеся встречаются с наиболее трудными случаями вида:

_{_} _60 500 _300 000

32 067 2 468

Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз. Поэтому предварительно нужно повторить соотношение между разрядными единицами.

М4М, с. 68, № 370: Заполни пропуски:

В 1 млн 10…тысяч в 1 тыс. 10…

В 1 сот. тыс. 10 …тысяч в 1 сот. 10…

В 1 дес. тыс. 10 … в 1 дес. 10…

Сначала вычисления сопровождаются подробным объяснением:

_ 300 000 Пишу…

2 468 Вычитаю единицы. Из 0 нельзя вычесть 8. Занимаем из 3 сот. тыс. 1 сот. тыс.; 1 сот. тыс.=10 дес. тыс., 1 дес. тыс.=10 тыс., 1 тыс.= 10 сот., 1 сот.=10 дес., 1 дес.=10 ед., 10-8=2. Пишу 2 в разряде единиц ответа.

Вычитаю дес. Т.к. 1 дес. мы занимали, осталось 9 дес. , 9-6=3, пишу 3 под дес.

и т.д.

В теме «Сложение и вычитание» учащиеся рассматривают случаи сложения нескольких слагаемых.

М4М, с.71: Вычислим сумму: 386+47 088+375 092

1 способ. 1) ₊ 42 088 2) ₊375 092

386 42 474

42 474 417 566

2 способ. ₊375 092

42 088

386

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел важно уделить внимание устным приемам выполнения этих действий. С этой целью следует систематически включать упражнения на закрепление устных приемов сложения и вычитания двух-, трехзначных чисел, а также многозначных с применением приемов перестановки и группировки при сложении нескольких чисел.

М4М, с.66, тема «Перестановка и группировка слагаемых».

Вычисли удобно наиболее легким способом: 48+530+70+52

Вслед за изучением сложения и вычитания многозначных чисел приступают к сложению и вычитанию составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах, т.к. приемы этих вычислений сходны.

М4М, с. 72, тема «Сложение и вычитание величин».

Действия над составными именованными числами можно выполнять по-разному.

• Сразу складывают или вычитают единицы одинаковых наименований:

8 кг+300 г=8 кг 300 г

1 ч 30 мин+25 мин=1 ч 55 мин

2 м 45 см + 3 м 15 см=5 м 60 см

• Сначала преобразовать данные числа в простые именованные числа с одинаковыми наименованиями, выполнить действия над ними, как над отвлеченными числами и выразить полученный результат в более крупных единицах измерения.

124 м 75 см + 39 м 85 см = 164 м 60 см ₊ 12 474

124 м 75 см = 12475 см 3 985

39 м 85 см = 3985 см 16 460

164 60 см = 164 м 60 см

Литература.

1. Бантова М.И. Ошибки в вычислениях

2. Елисеева Сложение и вычитание в пределах 10

3. Истомина Н.Б. О выборе методов обучения на уроках математики // НШ,

3. Методика обучения умножению и делению

3.1. Методика обучения табличному умножению и делению

Произведением целых неотрицательных чисел а и в называют такое целое неотрицательное число а·в, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. е сли в1, то а·в =а+а+а+…+а

в

(сумма в одинаковых слагаемых, каждое из которых равно а)

2. если в = 1, то а·в = а

3. если в = 0, то а·в = 0

Рассмотренному случаю (1) можно дать теоретико-множественную трактовку.

Если множества А₁, А₂, А₃,…,А_b имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁∪А₂∪А₃∪…∪А_b содержит а·в элементов.

А₁ А₂А₃…А_b, попарно не пересекаются,

n(А₁) = n(А₂) = n(А₃) =…= n(А_b) = a

A= А₁∪А₂∪А₃∪…∪А_b

n (А)=n(А₁∪А₂∪А₃∪…∪А_b)= n(А₁) + n(А₂) + n(А₃) +…+ n(А_b) = а + а + а +…+ а=а · в

в

Таким образом, с теоретико-множественных позиций, произведение натуральных чисел а·в представляет собой число элементов в объединении в равномощных, попарно не пересекающихся множеств, в каждом из которых по а элементов.

Действие, с помощью которого находят произведение, называется умножением.

Таким образом, умножение определяется как сложение одинаковых слагаемых.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу:

На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств. Если n(А₁) = n(А₂) = n(А₃) =4, то n (А₁∪А₂∪А₃)= n(А₁) + n(А₂) + n(А₃) = 4+4+4 = 4 · 3. Произведение 4 · 3 является математической моделью данной задачи. Так как 4 · 3=12, то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

В изучении действий умножения и деления выделяют 2 этапа: подготовительный и основной.

Подготовительный этап.

• Конкретный смысл умножения

• Составление таблицы умножения числа 2, числа 3

• Переместительное свойство умножения

• Составление таблицы умножения на 2, на 3

• Конкретный смысл деления

• Взаимосвязь между компонентами и результатом действий умножения и деления

• Составление таблицы деления на 2 и таблицы деления с частным 2

• Особые случаи умножения и деления 1, 0, с числом 10.

Основной этап

• Табличное умножение и деление с числом 4, …, с числом 9.

• Сводная таблица умножения и деления.

Подготовительный этап

Как и все математические понятия в начальной школе, умножение и деление вводятся с помощью системы целесообразно подобранных задач с последующей математизацией их содержания.

Пример. Боря носил дрова. Первый раз он принес 2 полена, во второй раз 2 полена, в третий раз 2 полена. Сколько всего поленьев дров принес Боря?

- Прочитайте, какая это задача? Объясните, почему эта задача составная.

- Решим первую простую задачу: 2+2=4 (п.)

- Что мы узнали этим действием? (сколько поленьев принес Боря в первый и во второй раз).

- Сформулируйте вторую простую задачу (В первый и во второй раз Боря принес 4 полена, а в третий раз еще 2. Сколько всего…?)

- Решение: 4+2=6 (п.)

- Мы решили задачу по действиям. Запишите решение задачи выражением и найдите его значение (2+2+2=6)

Учитель обобщает:

- При решении задачи мы выполнили 2 действия. Но решение этой задачи будет более легким, если задачу сформулировать кратко. Каждое из повторяющихся слагаемых нужно взять один раз и указать, сколько раз оно повторяется. Для этого необходимо применять слово «по».

- Какое число повторяется в задаче? (число 2)

- Сколько раз повторяется число 2? (3 раза)

- Как теперь сформулировать задачу кратко? (Боря приносил по 2 полена 3 раза. Сколько всего поленьев дров принес Боря?)

- Ту же самую задачу мы сформулировали иначе (кратко). Кратко можно записать и ее решение. Сначала запишем то число, около которого стоит слово «по» (2). Это число берется слагаемым. Затем ставим знак «·» (точку). Потом пишем число, которое показывает, сколько раз взяли слагаемым число 2 (3). Затем напишем знак «=» и полученный результат (6). Равенство, которое мы получили, читается так: по 2 взять 3 раза, получится 6; 2 умножить на 3, равно 6.

Таким образом, умножение вводится как более короткая запись сложения.

Для закрепления смысла действия умножения можно предлагать учащимся следующие упражнения:

• Замена суммы равных слагаемых произведением;

• Замена произведения суммой равных слагаемых:

3·4 Прочитайте выражение. Что в этой записи обозначает число 3? Число 4? Заменим умножение сложением: 3+3+3+3=12

• Расположить в порядке возрастания следующие выражения: 2·9, 2·4, 2·6, 2·8.

Полезно выяснить, нужно ли для выполнения данного задания вычислять значения выражений (нет, т.к. мы смотрим, сколько раз берется слагаемым число 2).

• Сравнить выражения и поставить знак , ,  :

4+4+4*4·2 3·4*2·4 4·7+4*4·9

• Найти значение второго выражения, используя значение первого:

2·6=12

2·7=

• Заменить сложение умножением, если это возможно:

3+3+3 6+5+5 4+4+4+4+4+4 2+7+9+9

Впоследствии учащиеся 2 класса знакомятся с названиями компонентов и результата действия умножения.

2

2 · 3 = 6

– первый множитель

3 – второй множитель

2·3 – произведение

6 – значение произведения

Далее изучается тема «Умножение двух». Этот еще не изучение табличных случаев, а работа над смыслом действия умножения. Такое распределение материала позволяет установить более тесную связь между теорией и практикой: каждый теоретический вопрос подкрепляется конкретным случаем, связанным с составлением таблиц.

2·2=2+2=4

2·3=2+2+2=6

2·4=2+2+2+2=8

Анализируется: при умножении двух первый множитель одинаковый, второй множитель больше предыдущего на 1, т.е. всякий раз берется на один раз по 2 больше. Значит, значение произведения будет больше предыдущего на 2. Таким образом, зная значение предыдущего произведения, можно получить последующее, прибавив 2.теоретическая основа – дистрибутивность умножения относительно сложения:

2·4=2·(3+1)=2·3+2·1=6+2=8

Аналогично рассматриваются случаи умножения трех.

После составления таблиц умножения двух и трех вводится переместительное свойство умножения.

Коммутативность действия умножения:

 a, b  Z₀ a·b=b·a

(значение произведения чисел а и в равно значению произведения чисел в и а)

В учебнике Моро переместительное свойство предлагается «открыть» при выполнении следующего задания:

Подсчитайте двумя способами, сколько всего квадратов на рисунке:

1) З ряда клеток, по 6 в каждом ряду

6·3=18

2) 6 рядов клеток, по в каждом ряду

3·6=18

Сравниваем равенства: множители равны, только переставлены местами, значения произведений равны. Приходят к выводу: от перестановки множителей значение произведения не изменяется.

Возможно использование частично-поискового метода. В этом случае учитель может предложить детям сравнить выражения:

4+3…3+4 5+2…2+5 6+3…3+6

Работа проверяется, выясняется. Каким свойством пользовались учащиеся при сравнении выражений. Учитель подводит итог и предлагает подумать, как можно выяснить, выполняется ли данное свойство для умножения.

Учащиеся по аналогии с предыдущим случаем составляют соответствующие выражения и проверяют справедливость переместительного свойства для умножения.

Переместительное свойство умножения играет большую роль при составлении таблиц. Его применение позволяет сократить число случаев табличного умножения, которые учащиеся должны запомнить. Вместо двух произведений 8·3 и 3·8 ученики запоминают только один.

Упражнения на закрепление свойства?

После знакомства с переместительным свойством умножения школьники самостоятельно составляют таблицу умножения на 2: 3·2, 4·2, 5·2 и т.д.

Позднее аналогично составляется таблица умножения на 3.

2·3 Переставим множители местами и умножим 3 на 2, получим 6.

Определение частного натуральных чисел с теоретико-множественной позиции:

Если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

в – число элементов в каждом подмножестве, то частное а:в – это число таких подмножеств;

в – число подмножеств, то частное а:в – это число элементов в каждом подмножестве.

При разъяснении смысла действия деления ведущим является практический метод, который лежит в основе специально подобранных задач:

8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина разложили? Сколько тарелок потребовалось?

На столе учителя лежат модели апельсинов. Вызванный к доске ученик берет 2 апельсина и кладет их на первую тарелку, затем берет еще 2 апельсина и кладет их на вторую тарелку и т.д. в результате проделанных действий учащиеся практически получают ответ на поставленный вопрос.

Учитель сообщает, что действие, которое выполнили ученики, называется в математике делением и для его записи используется специальный знак «:». Если записать с помощью математических символов то действие, которое выполнил ученик, раскладывая апельсины по тарелкам, то оно будет выглядеть так: 8:2=4 (т.)

8 – число всех апельсинов, 2 – число, показывающее, как мы делили (брали каждый раз по 2).

А

А₁  А₂  А₃  А₄

а : в=с

а=8 – число элементов множества А; в=2 – число элементов в каждом равномощном подмножестве; с=4 – число равномощных подмножеств в разбиении множества А.

Задачи рассмотренного вида относят в методике к задачам «на деление по содержанию».

После данного вида задач вводятся задачи «на деление на равные части».

12 карандашей раздали трем ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?

Учитель вызывает к доске трех учеников, а четвертому дает 12 карандашей.

- Как разделить карандаши поровну? (сначала возьмем столько карандашей, чтобы дать каждому по одному, т.е. 3, раздадим каждому; затем возьмем еще столько карандашей, чтобы дать каждому по одному, т.е. еще 3 и т.д., пока карандаши не закончатся).

Необходимо, чтобы учащиеся поняли, что все карандаши разделили на 3 равные части.

12:3=4 (к.)

12 – число, показывающее, сколько всего карандашей было разделено (число элементов множества А);

3 – число, показывающее, как делили (число равномощных подмножеств);

4 – число элементов в каждом подмножестве.

Для обобщения двух видов деления можно предложить сравнить задачи с одинаковыми числами и сюжетом.

6 огурцов разложили на тарелки, по 2 огурца на каждую. Сколько понадобилось тарелок?

6 огурцов разложили поровну на 2 тарелки. Сколько огурцов на каждой тарелке?

Закрепление смысла деления?

Взаимосвязь между компонентами и результатом действия умножения раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся предлагается составить равенства на умножение по рисунку:

- По сколько треугольников в каждом ряду? Сколько всего рядов? Как узнать, сколько всего треугольников?

Составляют равенства: 3·4=12, 4·3=12

- Сколько всего треугольников? По сколько треугольников в каждом ряду? Как узнать, сколько всего рядов?

- Сколько всего треугольников? Во сколько рядов они расположены? Как узнать, сколько треугольников в каждом ряду?

Ученики составляют равенства: 4·3=12

12:3=4

12:4=3

-Назовите в равенстве на умножение компоненты и результат (первый множитель 4, второй множитель 3, значение произведения 12).

- Сравните равенства на умножение с равенствами на деление. Как получили второй множитель 3? (значение произведения 12 разделили на первый множитель 4).

- Как получили первый множитель? (значение произведения 12 разделили на второй множитель 3).

После выполнения нескольких аналогичных упражнений ученики делают вывод: если значение произведения разделить на один из множителей, то получится другой множитель.

Осознание и усвоение взаимосвязи между компонентами и результатом действия умножения играет большую роль при составлении таблиц деления. На ее основе возможно одновременное рассмотрение таблиц умножения и деления, поэтому очень важно, чтобы она была усвоена не формально, а чтобы учащиеся могли соотнести каждую запись с конкретным содержанием. Учащиеся должны понять, что из каждого равенства на умножение можно составить 2 равенства на деление.

При рассмотрении взаимосвязи между компонентами и результатом деления предлагается сначала задача на деление и в сравнении с ней две задачи: одна на умножение, другая на деление. Учебник!

6:2=3

6:3=2

2·3=6

12:4 На какое число надо умножить делитель 4, чтобы получить делимое 12?

Особые случаи умножения и деления

Сначала рассматриваются случаи умножения 1 и 0 на числа, большие 1. Учащиеся находят значения произведений, заменяя умножение сложением:

1·5=1+1+1+1+1=5

0·3=0+0+0=0

Затем, сравнив в каждом случае результат с множителем, они приходят к выводу: при умножении 1 на любое число получается то число, на которое умножали; при умножении 0 на любое число получается 0.

Умножение на 1 вводится как определение. Здесь нельзя опираться ни на конкретный смысл умножения, ни на перестановку множителей, т.к. первый множитель «не повторяется» (не берется слагаемым ни разу), поэтому невозможно умножение проверить сложением. Пользуясь правилом: при умножении любого числа на 1 получается то число, которое умножали, - учащиеся записывают конкретные равенства: 4·1=4, 32·1=32

При умножении числа на 0 результат также нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, т.к. это новая область чисел (Z₀), в котором переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому втрое правило: при умножении любого числа на 0 получается 0 – учитель просто сообщает детям. Например, 3·0=0, 12·0=0, 58·0=0.

Как известно, делить на 0 нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере (на основе взаимосвязи между компонентами и результатом умножения): нельзя 8 разделить на 0, т.к. нет такого числа, при умножении которого на 0 получится 8.

Знание взаимосвязи между компонентами и результатом умножения используется также при рассмотрении случаев деления числа на само себя и на 1.

1·13=13

13:13=1 Какое число нужно умножить на 13, чтобы получить 13?

13:1=13

В результате формулируется вывод: при делении числа, не равного 0, на то же самое число получается 1; при делении числа на 1 получается то же самое число.

Аналогично рассуждают и при делении 0 на число (не равное 0). Чтобы 0 разделить на 6, надо найти такое число, при умножении которого на 6 получится 0. Это 0, т.к. 0·6=0. Значит, 0:6=0.

В результате решения аналогичных заданий ученики подмечают, что при делении 0 на любое число, не равное 0, значение частного всегда равно 0.

При умножении 10 на однозначное число ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, нужно 1 дес. умножить на 2, получится 2 дес. или 20.

Или: 10·2=10+10=20

Умножая на 10, используют переместительное свойство умножения:

2·10=10·2=10+10=20

При делении на 10 используется знание связи между компонетами и результатом умножения: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении котрого на 10 получится 20; это 2, значит, 20:10=2.

Так же находим 20:2=10

Внетабличное умножение и деление

В ходе изучения данной темы рассматриваются следующие вопросы:

• Свойства арифметических действий (умножение суммы на число, деление суммы на число), которые являются теоретической основой для многих случаев внетабличного умножения и деления.

• Устные приемы: а) умножения двузначного числа на однозначное и однозначного числа на двузначное;

б) деления двузначного числа на однозначное и на двузначное.

• Деление с остатком, которое включает в себя работу, направленную на:

а) раскрытие конкретного смысла деления;

б) разъяснение алгоритмов выполнения деления с остатком;

в) выполнение проверки правильности выполненных действий.

Урок № 1 (с.4). Приемы умножения и деления для случаев вида 20·3, 3·20, 60:3

№ 5 – подготовка к изучению деления с остатком.

Урок № 2 (с.5). Прием деления для случаев вида 80:20.

Для различения приемов деления двузначных чисел, оканчивающихся нулем, на однозначное (80:2) и двузначное число, оканчивающееся нулем (80:20), полезно сравнить ход вычисления в следующих парах выражений:

40:20 100:50 60:30

40:2 100:5 60:3

- При делении на двузначное число узнаем, на сколько надо умножить делитель, чтобы получить делимое. При делении на однозначное число делим число десятков на делитель.

Урок № 3 (с.6). Умножение суммы на число.

(2+3) · 4

К данному выражению ученики рисуют на строчке 2 круга и 3 квадрата. Так как сумму чисел 2 и 3 надо умножить на 4, то таких строчек будет 4. надо узнать, сколько всего фигур нарисовали.

Рассуждения по рисунку:

- Сначала узнаем, сколько фигур в одной строке (2+3), а затем узнаем, сколько фигур в 4 таких строках (5 · 4). Можно узнать, сколько всего кругов (2 · 4), потом – сколько всего квадратов (3 · 4), а затем – сколько всего фигур (8+12).

Параллельно с объяснением на доске и в тетради появляются записи:

(2+3) · 4=5 · 4=20

(2+3) · 4=2· 4+3· 4=8+12=20

Урок № 5 (с.8). Приемы умножения для случаев вида 23· 4, 4· 23.

Вычисления можно выполнять с опорой на памятку:

Заменяю…

Получилось выражение…

Вычисляю …

Например: «Найду произведение чисел 36 и 2. Заменяю 36 суммой разрядных слагаемых 30 и 6. Получилось выражение: сумму чисел 30 и 6 умножить на 2. Вычисляю: 30 умножить на 2, получится 60; 6 умножить на 2, получится 12; к 60 прибавить 12, получится 72».

Урок № 9 (с. 13). Деление на число.

Учитель предлагает проиллюстрировать выражение (12+6):3 с помощью разноцветных кружков и выставляет на наборное полотно 12 красных кружков и 6 синих. Вызванный к доске ученик находит сумму, т.е. складывает все кружки в конверт, а затем делит их на 3, вынимая из конверта по 3 кружка (независимо от цвета). Когда все кружки будут разложены, выясняется что на наборном полотне 6 групп, по 3 кружка в каждой. Учитель обращает внимание детей на то, что в группах получились кружки разного цвета, и предлагает разделить кружки так, чтобы в каждую группу попали бы кружки одного цвета. Вызванный к доске ученик:

а) раскладывает на группы 12 красных кружков, по 3 кружка в каждой группе;

б) раскладывает на группы 6 синих кружков, по 3 кружка в каждой группе.

На доске записывается решение: (12+6):3=12:3+6:3=4+2=6.

Ученики анализируют записи на доске и разъясняют, как выполняли вычисления в каждом случае.

Урок № 11 (с. 14). Прием деления для случаев 69:3, 78:2.

Урок № 13 (с. 17). Проверка деления.

Урок № 14 (с. 18). Прием деления для случаев 87:29, 66:22.

Урок № 15 (с.19). Проверка умножения.

Урок № 19 (с. 24). Деление с остатком: разъяснить конкретный смысл деления с остатком.

Необходимо показать, что решение можно записывать как в строчку (14:3=4(ост. 2)) или в столбик:

_14 3

12 4

2

Урок № 20 (с. 25). Деление с остатком: разъяснение правила «при делении остаток всегда должен быть меньше делителя».

При делении с остатком можно заполнять таблицу:

Делитель	Остаток
2	0,1
3	0,1,2
4	0,1,2,3
5	0,1,2,3,4
6	0,1,2,3,4,5

Урок № 21 (с.26). Прием нахождения значения частного и остатка: познакомить с приемом подбора делимого для нахождения значения частного и остатка.

Урок № 22 (с. 27). Прием нахождения значения частного и остатка: познакомить с приемом подбора значения частного при делении с остатком.

Данный прием (подбор такого числа, при умножении на которое делитель получается число, близкое к делимому) более трудоемкий, чем прием подбора делимого.однако многократное умножение значения частного на делитель способствует запоминанию таблицы умножения.

Урок № 24 (с.29). Деление меньшего числа на большее.

Урок № 25 (с. 30). Проверка деления с остатком.

Методика обучения письменному умножению и делению

1. Перед изучением письменного умножения и деления в концентре «Тысяча» рассматриваются устные приемы умножения и деления в пределах 1000, являющиеся подготовкой к введению письменных случаев.

На этом этапе ученики знакомятся с разными приемами устного умножения и деления, основанных на:

а) умножении и делении дес. или сот., например:

180· 4= 18 дес. · 4= 72 дес. = 720,

620:2=6 сот. : 2= 3 сот. = 300;

б) умножении и делении на основе знания правил умножения и деления суммы на число, например:

320· 2= (300+20) · 2; 720:2=(600+120):2;

в) связи между умножением и делением, например:

600:300=2, т.к. 300·2=600.

2. Приемы письменного умножения и деления.

Как уже отмечалось, умножение и деление в традиционной системе рассматривается во взаимосвязи. Это касается и вопросов письменного умножения и деления. Однако для удобства методику обучения письменному умножению будем рассматривать отдельно от методики обучения письменного деления.

Методика обучения письменному умножению

Прежде чем обратиться непосредственно к методике обучения учащихся умножению в столбик, выполним дидактический анализ соответствующего алгоритма.

Начнем с конечного результата изучения умножения: учащиеся должны уметь умножать многозначные числа на трехзначные. На конкретном примере вспомним, в чем состоит это умение.

_х 4345

276

26070

30415

8690

1199220

Вначале оба множителя правильно записываются друг под другом. Затем число, стоящее в разряде единиц второго множителя, умножается на многозначный множитель, начиная с наименьшего разряда. Полученный результат правильно записывается под чертой, отделяющей множители от значения произведения.

На многозначный множитель умножаются единицы разряда десятков второго множителя. Результат правильно записывается под первым неполным произведением. Наконец, на многозначное число умножаются единицы разряда сотен второго множителя, а результат правильно записывается под вторым неполным произведением. Полученные неполные произведения складываются. Сумма и есть значение произведения 4345 и 276.

Выделим те операции алгоритма, которые связаны с выполнением арифметических действий:

а) многозначное число умножается на однозначное;

б) многозначное число умножается на круглые десятки;

в) многозначное число умножается на круглые сотни;

г) три многозначных числа складываются.

Операция (г) уже известна учащимся из темы «Сложение и вычитание многозначных чисел». Поэтому подробно рассмотрим операции 1-3.

• Умножение многозначного числа на однозначное имеет много общего с приемом умножения двузначного числа на однозначное: многозначный множитель представляется в виде суммы разрядных слагаемых, и эта сумма по специальному правилу умножается на однозначный множитель.

543·4=(500+40+3) ·4=500·4+40·4+3·4

Вместе с тем между этими приемами есть и различия. Так, при умножении многозначных чисел сумма разрядных слагаемых может иметь 3, 4, 5 и даже 6 слагаемых; на однозначное число умножаются круглые сотни, тысячи, десятки и сотни тысяч; полученные многозначные неполные произведения нелегко сложить в уме. Поэтому для усвоения операции (а) учащиеся должны научиться умножать на число сумму, состоящую из 3, 4, 5 и 6 слагаемых, и умножать на однозначное число многозначные разрядные числа.

• Чтобы научить детей выполнять операцию (2) – умножению на круглые десятки – можно свести этот случай к ранее изученным с помощью специального приема. При изучении нумерации многозначных чисел было показано, как увеличить (уменьшить) число в 10, 100 и 1000 раз. Круглые десятки (сотни) можно представить можно представить в виде произведения однозначного числа на 10. Таким образом, выражение 543·30 можно представить в виде 543·(3·10). Для того чтобы учащиеся могли выполнить такое умножение, им нужно оказать, что умножить число на произведение можно разными способами (в частности, 543·3·10). Для умножения 543 на 3 используется операция (а).

• Аналогично можно обучить учащихся выполнению операции (в) – умножению на круглые сотни (543·300=543·3·100).

Таким образом, разработана стратегия обучения учащихся алгоритму умножения в столбик. Она состоит в последовательном изучении следующих тем.

• Обобщение правила умножения суммы на число для случаев, когда сумма имеет более двух слагаемых;

• Умножение многозначного числа на однозначное;

• Правило умножения числа на произведение;

• Умножение многозначного числа на круглые десятки и сотни;

• Умножение многозначного числа на двузначное;

• Умножение многозначного числа на трехзначное.

Рассмотрим методику изучения этих тем.

Правило умножения суммы на число

Вводится на примере задачи:

Для уроков труда было куплено 3 набора. В каждый набор входила линейка ценой 25 к., угольник за 20 к., циркуль ценой 22 к. и набор фломастеров за 3 р. Сколько стоили купленные наборы?

По задаче составляется выражение: (25+20+22+300) ·3. Обсуждаются способы вычисления этого произведения: если сначала найти стоимость одного комплекта, то получится трехзначное число 367, которое умножать на 3 трудно. Ответ можно найти и по-другому: узнаем, сколько стоят в отдельности линейки, циркули, угольники и фломастеры. Полученные стоимости сложим. значит, нужно найти значение выражения: 25·3+20·3+22·3+300·3.

В заключении формулируется правило умножения суммы на число. Это правило закрепляется в процессе выполнения следующих упражнений:

• Представь число 183 в виде суммы двух (трех) слагаемых, чтобы его можно было умножить на 5.

• Умножь удобным способом: (300+40+6) ·3. (200+70+6) ·5.

Умножение многозначных чисел на однозначное число

Сначала предлагаются более легкие случаи, когда неполные произведения являются разрядными числами:

1232·3=(1000+200+30+2) ·3=1000·3+200·3+30·3+2·3=3000+600+90+6=3696

Затем вводятся более сложные случаи: 2345·3, 6789·2 и т.п. сумма этих произведений вычисляется в столбик, например:

64789·4=240000+16000+2000+280+36.

Эти числа складываются в столбик: 240000

16000

+ 2000

280

36

Таким образом, учащиеся должны почувствовать трудоемкость такого алгоритма умножения. Так создается психологическая предпосылка к изучению алгоритма умножения в столбик.

Введение новой записи:

Ученики вспоминают прием устного умножения двузначного числа на однозначное, выполняя на доске подробную запись:

23·2=(20+3) ·2=20·2+3·2=40+6=46.

Учитель предлагает по аналогии умножить 423 на 2:

423·2=(400+20+3) ·2=400·2+20·2+3·2=800+40+6=846.

Учитель обращает внимание на неудобство записи и предлагает подумать над более компактной записью приема. После того как учащиеся выскажут свое мнение, учитель подводит итог обсуждения.

- В некоторых случаях удобно записывать умножение столбиком. Запишем первый множитель 423. Под разрядом единиц первого множителя запишем второй множитель 3. Слева поставим знак умножения (не «·», а «ｘ»). Вместо знака «=» проведем черту. Умножаем единицы: 3·2=6, пишем 6 под единицами. Умножаем десятки: 2·2=4, пишем 4 под десятками. Умножаем сотни: 4·2=8, пишем 8 под сотнями. Читаем ответ: 846.

На первых порах на доске можно использовать колонки клеток, в которых записываются цифры множителей и названия разрядов:

Т	С	Д	Е
х	4	6	5 7
+ 2	4 8	3 2	5
3	2	5	5

Учитель поясняет детям, что выполненное таким образом умножение отличается от ранее рассмотренного способа лишь формой. Поэтому в первое время записи в столбик и в строчку постоянно сопоставляются.

Затем запись в столбик сокращается: промежуточные результаты дети запоминают.

Особо следует рассмотреть случаи умножения с нулем: 3520·6, 372 000·4 и др. для того чтобы не выполнять лишние операции, которые связаны с умножением нуля на число, принято использовать такую запись:

372000

х 4

Она позволяет нули, стоящие на конце первого множителя, перенести в ответ. Для осознания этого факта предлагаются упражнения вида:

130·5 23000·4

13 дес. ·5=65 дес. 23 тыс. ·4

Таким образом, запись 872000

х 4 не является ошибочной, она просто не рациональна.

Анализ упражнений, предложенных в учебнике М3М:

Урок № 11 (с. 67). Приемы устных вычислений (знакомство с устными приемами умножения и деления трехзначных чисел, которые сводятся к умножению и делению сотен и десятков).

Урок № 12 (с. 68-69). Приемы устных вычислений (сводятся к умножению и делению суммы на число).

Урок № 13 (с. 70). Приемы устных вычислений (деление трехзначного числа на трехзначное).

Урок № 16 (с. 79). Прием письменного умножения на однозначное число.

Урок № 17 (с. 80). Прием письменного умножения на однозначное число ( с переходом через разряд).

Умножение числа на произведение

Вводится на примере задачи:

Отрезок длиной 2 клетки тетради нужно увеличить сначала в 3, а потом в 4 раза. Какую длину будет иметь полученный отрезок? Запиши выражение, выполни рисунок.

Выясняется, что требуемый отрезок можно построить несколькими способами:

2 ·3·4

2 ·4·3

2 ·12

Констатируется, что результат выполнения задания разными способами одинаков. Делается вывод, что (2·3)·4=(2·4)·3=2·(4·3), т.е. произведение трех чисел можно вычислять в любом порядке.

Закрепление правила:

• Вычисли произведение удобным способом: 16·5, 13·100…

• Вычисли удобным способом:26·2·10, 5·100·16…

Умножение многозначного числа на разрядные числа

Прежде всего нужно вспомнить, как умножить число на 10, 100, 1000. затем в порядке возрастающей трудности предлагаются произведения, в которых один из множителей – разрядное число (круглые десятки, сотни единицы тысяч). Вначале алгоритм умножения таких чисел рассматривается подробно.

17·30=17·(3·10) такое умножение можно выполнить разными способами: можно 17 умножить на 10, получится 170, но 170 на 3 умножать трудно; лучше 17 ·3=51, потом умножить на 10 (приписать 0).

Аналогично выполняются устные вычисления, когда один из множителей – круглые сотни или единицы тысяч:

26·200=26·(2·100)=5200

37·2000=37·(2·10000=74000

Затем рассматриваются случаи, когда устное умножение выполнить трудно. В этих случаях используется умножение в столбик, причем учитель должен объяснить, как записываются числа с нулями на конце:

78 62100

^х 70 ^х 200

5460 12420000

При этом нули множителей просто сносятся в значение произведения.

Умножение многозначного числа на двузначное

Алгоритм умножения на двузначное число состоит из следующих операций: двузначный множитель представляется в виде суммы разрядных слагаемых; многозначное число умножается сначала на единицы разряда единиц, а затем на второе разрядное число. Таким образом, в основе алгоритма письменного умножения на двузначное число лежат алгоритмы умножения на однозначное и разрядное числа. Это необходимо показать детям. Для этого второй множитель (двузначное число) представляется в виде суммы разрядных слагаемых:

62·47=62·(40+7)=62·40+62·7

Пользуясь алгоритмами умножения на однозначное и разрядное числа, ученики вычисляют первое и втрое произведения, затем складывают полученные результаты. После этого учителю нужно только показать более компактную запись выполненных операций.

Можно предложить учащимся записи «в столбик» умножения на двузначное число, а они сами попробуют объяснить выполненные действия. В этом случае целесообразно подобрать пары записей и выяснить сначала, в чем их сходство и различие.

3785 3785

^х 3 ^х 13

11355 11355

⁺ 3785

49205

Комментируя действия, связанные с выполнением умножения «в столбик», вводятся понятия первое неполное произведение (оно получается при умножении данного числа на единицы разряда единиц второго множителя), второе неполное произведение (оно получается при умножении данного числа на единицы разряда десятков второго множителя).

Для осознанного усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, полезно предложить детям сравнить и проанализировать следующие записи:

х 62 47 434 + 2480 2914

х 62 47 434 + 248 2914

х 62 47 434 + 248

В результате такого анализа делается вывод о том, какая запись неверная, какая верная и какой из верных записей удобнее пользоваться.

Записи сопровождаются пояснениями: второй множитель записывается под первым так, чтобы разряды единиц и десятков одного числа находились под соответствующими разрядами другого. Умножаем 62 на 7, получаем первое неполное произведение 434. Умножаем 62 на 40, т.е. 62 на 4, но помним, что в результате получаются десятки, поэтому второе неполное произведение начинам записывать, начиная с разряда десятков, т.е. под цифрой 3 первого неполного произведения. Второе неполное произведение равно 248. Находим сумму неполных произведений, она равна 2914.

Объясняя механизм умножения «в столбик», следует подчеркнуть, что:

• Умножение, так же как и сложение, начинаем с единиц низшего (первого) разряда;

• Записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывался под соответствующим ему разрядом.

Умножение многозначного числа на трехзначное

Алгоритм умножения на трехзначное число целесообразно рассматривать в сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число. При этом можно использовать анализ выполненных действий. Для этой цели предлагаются различные упражнения. Н.Б. Истомина, например, предлагает следующие:

• Объясни, как вычислено значение произведения слева и справа:

х 375 24 +1500 750 9000

х 24 375 120 + 168 72 9000

• Догадайся, почему второе неполное произведение записано, начиная с разряда сотен?

х234 402 468 936 94068

х507 304 2028 1521 154128

• Используя запись умножения «в столбик», найди значения выражений:

х 38 57 266 190 2166

38·7 38·50 266+1900 2166-1900 2166-266

Таким образом, при умножении на трехзначное число ( в сравнении с умножением на двузначное) появляется только третье неполное произведение. В целом алгоритмы аналогичны.

Урок № 20 (с.84). Прием письменного деления на однозначное число (когда каждый разряд делимого делится на делитель без остатка).

Ученики приходят к заключению, что деление «уголком», в отличие от сложения, вычитания и умножения, выполняется, начиная с единиц высшего разряда.

Урок № 21 (с.85). Прием письменного деления на однозначное число (когда один разряд делимого не делится на делитель без остатка).

Важно, чтобы ученики обратили внимание на следующие моменты:

• Письменное деление выполняется поразрядно, начиная с сотен;

• При нахождении каждой цифры в значении частного надо выполнить деление, умножение, вычитание и сравнение делителя с остатком.