6. Обработка результатов прямых измерений, содержащих случайные погрешности
6.1. Среднее арифметическое значение
Многократные (статистические) измерения проводятся с целью уменьшения влияния случайных погрешностей и повышения точности путем обработки результатов группы наблюдений. При повторении измерений мы получаем информацию только о случайной погрешности. О систематической погрешности из самих наблюдений извлечь информацию нельзя. Чтобы оценить эту погрешность, надо знать свойства используемых средств измерений, метод измерения и условия измерения. В дальнейшем будем предполагать, что результаты измерений свободны от систематических и грубых погрешностей.
Измерения одной и той же величины, проводимые в одних и тех же условиях, одними и теми же людьми называются прямыми равноточными измерениями.
В математической статистике доказано, что оценкой истинного математического ожидания измеряемой величины является среднее арифметическое результатов измерений.
,
где Хi - результат i- того измерения; n - число измерений.
Разность между результатом измерения и средним значением называется случайным отклонением.
Случайные погрешности подчиняются закону нормального распределения, из чего вытекают два основных свойства.
1-е свойство:
При очень большом числе измерений случайные погрешности численно равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто.
«2-е свойство:
Чем больше случайные погрешности по значению, том меньше вероятность их появления, малые погрешности встречаются чаще, чем большие.
Для получения результатов, минимально отличающихся от истинных значений величин, проводят многократные наблюдения за измеряемой величиной с последующей математической обработкой опытных данных.
Среднее значение
вычисляется
на основании конечного числа опытов n,
следовательно, оно отличается от
истинного значения на некоторую величину,
т.е. имеет погрешность.
Для оценки суммарной погрешности используют среднюю квадратичную погрешность.
Средняя квадратичная погрешность среднего арифметического, полученного из n измерений определяется по формуле:
σ =
,
где
-
систематическая погрешность;
n - число измерений.
Случайные погрешности можно уменьшить путем многократных измерений. При n →∞, σ → 0.
Проиллюстрируем это на следующем примере.
Как отразится на результате измерений следование русской поговорке "Семь раз отмерь - один отрежь"?
Результат измерений
будет в 7 раз точнее, чем при единичном
измерении. Так, если измерили размер 7
раз и каждый раз с погрешностью
5%,
то результат измерений - среднее
арифметическое из семи измерений, можно
расценивать как результат, полученный
погрешностью:
7. Расчет погрешностей косвенных измерений.
При косвенных измерениях значение искомой величины Y получают на основании зависимости величины Y от величин Хi , которые определяются путем прямых измерений.
Пусть зависимость имеет вид Y = F( Х1, Х2,,Х3). (1)
Если величины Х1, Х2,,Х3 измерены с некоторыми известными абсолютными погрешностями Х1, Х2, Х3, то величина Y будет определена с некоторой погрешностью Y.
Y + Y = F [(Х1+ X1), ( Х2+ X2), (Х3+ X3)]. (2)
Т.к. погрешности малы по сравнению с самими измеренными величинами, последнее уравнение можно разложить в ряд Тейлора, т.е. дифференцировать.
Y+
Y=F(Х1,
Х2,Х3)+
X1+
X2+
X3
(3)
Абсолютная погрешность равна:
Y= X1+ X2+ X3. (4)
Формула справедлива для любого вида функциональной связи между Y и Х.
Рассмотрим два часто встречающихся случая.
1-й случай.
Измеряемая величина Y связана с Х1, Х2,,Х3 линейной зависимостью.
Y = a Х1+bХ2+cХ3 , тогда согласно (4)
Y = a Х1+b Х2+c Х3.
2-й случай.
Измеряемая величина Y связана с Х1, Х2,,Х3 нелинейной зависимостью.
Y= kX1αX2βX3γ ,тогда согласно (4)
Y = kαX1α-1X2βX3γ X1+ kβX1αX2β-1X3γ X2+ kγ X1αX2β X3γ-1 X3.
Т.к. это выражение неудобно для практического вычисления, пользуются относительной погрешностью:
γ
=
=
= α
+β
+γ
Лекция 7