7.8.2. Авторегрессионные процессы с шумом наблюдения

На практике отсчеты данных очень часто искажены шумом наблюдения, что приводит к ухудшению характеристик и разрешения спектральных оценок. Это ухудшение обусловлено тем, что используемая при спектральном анализе модель с одними лишь полюсами (чисто полюсная модель) при наличии шума наблюдения оказывается уже непригодной. Пусть y(k)=x(k)+n(k) - искаженный шумом АР-процесс, где x(k) - АР(р)-процесс, а n(k) - шум наблюдения. Если n(k) - белый шум с дисперсией ²_n и если он не коррелирован с x(k), то

Отсюда следует, что z-преобразование АКФ выходного процесса характеризуется как полюсами, так и нулями, а это означает, что y(k) является АРСС(p,q)-процессом. Поэтому процессы этого типа следует анализировать с помощью методов на основе АРСС-моделей. Применительно к случаю, когда шум наблюдения является белым шумом, предложен ряд схем компенсации мощности этого шума, которые позволяют уменьшить связанное с ним смещение спектральных оценок. Поскольку мощность шума наблюдения влияет лишь на член АКП, соответствующий нулевому временному сдвигу,

то, удаляя из оценки автокорреляционного члена r_yy(0) оценку дисперсии ^_n, можно устранить эффекты, обусловленные шумом наблюдения. Можно использовать метод гармонического разложения Писаренко. Аналогичные схемы компенсации можно разработать и для коэффициентов отражения. Следует, однако, отметить, что схемы компенсации шума, уменьшая смещение спектральных оценок, одновременно увеличивают дисперсию этих оценок. Основной их недостаток состоит в том, что заранее неизвестно, какую долю мощности шума следует удалить; если оценка ^_n слишком велика, то оцененный АР-спектр будет иметь более острые спектральне пики, чем истинный спектр.

7.8.3. Оценивание мощности синусоидальных компонент

АР-метод оценивания СПМ часто используется для того, чтобы выявить в данных наличие синусоидальных компонент. Мощности, соответствующие компонентам в оценке СПМ, можно точно вычислить, интегрируя площадь под кривой этой оценки. Однако это связано с большими вычислительными затратами. Для классических спектральных оценок надежным показателем относительной мощности служит высота пиков, т. к. в случае, когда анализируемый процесс состоит из аддитивной смеси синусоид и белого шума, высота спектральных пиков прямо пропорциональна мощности этих синусоид. Но для АР-оценок СПМ такой метод не применим. Р. Лакосс показал, что авторегрессионная m-го порядка СПМ для процесса, состоящего из одной синусоиды и белого шума, достигает своего максимума при f=f₀

где SNR=P/² и предполагается mSNR>>1 (т. е. что отношение сигнал/шум велико). Таким образом, высота пика оказывается пропорциональной квадрату мощности, а следовательно, площадь под пиком прямо пропорциональна этой мощности.

Метод оценки мощности нескольких действительных синусоид по пикам в АР-спектре был предложен С. Джонсоном и Н. Андерсеном. Однако он дает хорошие результаты только в случае достаточно разнесенных спектральных пиков синусоид с высоким отношением сигнал/шум. Если АР-СПМ записать в виде z-преобразования

то мощность пика, наблюдаемого в АР-спектре на частоте f_k, будет оцениваться следующей величиной: