7.2. Методы оценки параметров ар-моделей. Блочные алгоритмы

Методы оценки АР-параметров можно разбить на две категории: алгоритмы для обработки блоков данных и алгоритмы для обработки последовательных данных.

Алгоритмы блочной обработки предназначены для обработки целых блоков накопленных отсчетов данных некоторого фиксированного объема. Блочные методы можно кратко описать как алгортмы с фиксированным временем, рекурсивные относительно порядка в том смысле, что позволяют рекурсивным образом получать оценки параметров АР-модели более высокого порядка по оценкам параметров модели более низкого порядка. Такие алгоритмы целесообразно применять в тех случаях, когда порядок требуемой модели неизвестен и необходимо испытывать модели различных порядков и сравнивать результаты.

АР(p)-процесс имеет три экивалентных представления:

1) в виде бесконечно протяженной АКП;

2) в виде конечной последовательности АР-параметров;

3) в виде конечной последовательности коэффициентов отражения.

Коэффициентами отражения называют коэффициенты k_m=a_m^f(m), 1mp фильтра линейного предсказания (ЛП) вперед.

Оценка и ошибка линейного предсказания вперед:

где ЛП вперед понимается в том смысле, что результат предсказания для текущего отсчета данных является взвешенной суммой из p предшествующих отсчетов.

Оценка и ошибка ЛП назад:

где ЛП назад понимается в том смысле, что результат предсказания для текущего отсчета данных являтся взвешенной суммой из p последующих отсчетов.

Коэффициенты k_m являются параметрами на каждой ступени решетчатого фильтра ЛП ошибки и интерпретируются как физические параметры акустической трубы, используемой в модели речи, или слоистых моделей Земли при обработке сейсмических данных. В структуре решетчатых фильтров одновременно распространяются ошибки ЛП вперед и назад, взаимно ортогональные на каждой ступени фильтра. Решетчатый фильтр мало чувствителен к шуму округления и флуктуациям значений коэффициентов.

Для того, чтобы все три отображения АР-процесса были возможны, необходимо, чтобы выполнялись следующие три эквивалентных условия:

1) r_xx(0) , ... , r_xx(p) являлась положительно-определенной АКП;

2) полином

являлся минимально-фазовым полиномом;

3) модуль коэффициента отражения k_m<1 и дисперсия на m-й ступени ²_m>0, 1mp.

Соответствующие этим представлениям методы оценки параметров представлены на рис. 7.3. В отдельную группу выделены методы, основанные на линейном предсказании по методу наименьших квадратов.

Рис.7.3

Рис.7.4

Если анализируется процесс x(t)=m(t)+n(t), где n(t) - стационарный случайный процесс со спектром, ширина которого значительно превышает ширину спектра детерминированной функции m(t), то фунция m(t) характеризует отклонение процесса x(t) от стационарности и называется трендом.

Блок-схема блочных алгоритмов АР-оценивания СПМ приведена на рис. 7.4.

7.3. Оценка параметров АР-моделей по автокореляционной

последовательности. Метод Юла-Уолкера

АР-модель описывается уравнением (7.6):

Умножая обе его части на x*(n-m) и усредняя (операция < >) , получим

или

Взаимную корреляцию r_ux(m) найдем из второго равенства (7.6):

Т.к. u(n) - белый шум, то

При m>0 k₀<0, h(k₀)=0 и r_ux(m)=0;

при m0 k₀0, h(k₀)=h*(-m) и r_ux(m)=²h*(-m).

АКП при m<0 по определению r_xx(m)=r_xx*(-m). Подставляя значения r_ux(m) в (7.11), получим

Это выражение можно записать для p+1 значений индекса временного сдвига 0mp в матричной форме

Таким образом, если задана АКП для 0mp, то АР-параметры можно найти в результате решения уравнений (7.14), которые называются уравнениями Юла-Yолкера для АР-процесса.

Процедура оценивания СПМ по АР-параметрам, получающимся в результате решения уравнений (7.14), называется алгоритмом Юла-Уолкера. Если задана последовательность данных, то в уравнения (7.14) вместо значений неизвестной автокорреляционной функции подставляются их оценки, смещенные или несмещенные. Гарантию устойчивости АР-фильтра дает использование смещенных автокорреляционных оценок.

Для решения системы (7.14) можно воспользоваться алгоритмом Левинсона [1, с. 189]. Количество необходимых для этого вычислительных операций пропорционально величине p².

СПМ АР-процесса получается следующим образом:

Заметим, что значения автокорреляции, соответствующие значениям индекса временного сдвига от 0 до p, однозначно описывают АР(p)-процесс, т. к. значения автокорреляции при k>p получаются рекурсивно (см. формулу (7.13) ).

7.4. Оценка параметров АР-моделей по последовательности оценок

коэффициентов отражения

Рекурсивное решение уравнений Юла-Уолкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка p с параметрами порядка p-1 выражениями [1, с. 239]

а коэффициент отражения определяется по известным значениям АКФ, соответствующим корреляционным сдвигам от 0 до p-1:

Рекурсивное выражение для дисперсии возбуждающего белого шума:

Одна из процедур получения АР-оценки СПМ в том случае, когда имеется некоторый блок отсчетов данных, может быть основана на оценивании коэффициента отражения по этим отсчетам на каждом шаге рекурсии Левинсона. Эта идея реализована в трех следующих методах.