5.1.3. Периодограмма Уэлча

Уэлч модифицировал основную схему метода сегментирования и усреднения Бартлетта за счет применения окна данных и использова­ния частично перекрывающихся сегментов. Перед вычислением перио­дограммы каждого сегмента этот сегмент обрабатывается с помощью окна данных. Цель применения окна - за счет незначительного ухуд­шения разрешения ослабить эффекты, возникающие из-за боковых лепе­стков и уменьшить смещение оценок. Цель перекрытия сегментов - уве­личить число усредняемых сегментов при заданной длине записи дан­ных и тем самым уменьшить дисперсию оценки СПМ. На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру [1, c. 211] для реализации своего метода усреднения периодограмм взвешенных и перекрывающихся сегментов данных. Именно это сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания в наши дни.

Если запись комплексных данных {x(0), ..., x(N-1)} из N отсчетов разбита на P сегментов по D отсчетов в каждом со сдвигом S отсче­тов между соседними сегментами (SD), то максимальное число сег­ментов P будет определяться целой частью числа (N-D)/S+1. В частном случае, когда N - степень двух, число сегментов P=(N/S)-1. Взве­шенный окном w(n) p-й сегмент

x^(p)(n)=w(n)x(n+pS)

будет состоять из D отсчетов (0nD-1), а номер сегмента p ле­жит в интервале 0pP-1.

Выборочный спектр взвешенного p-го сегмента в диапазоне ча­стот -1/2Tf1/2T определяется выражением:

где

– дискретно-временное преобразование p-го сегмента, а

– энергия дискретно-временного окна. Среднее значение периодог­раммы взвешенных сегментов дает оценку периодограммы Уэлча P_W(f):

Множитель 1/U в (5.9) устраняет эффект влияния энергии окна на смещение в оценке СПМ P_W(f). Можно показать (доказать это утверждение студентам предоставляется самостоятельно), что смещение периодограммы Уэлча представимо в следующем виде:

где

– дискретно-временное преобразование Фурье окна данных, а P(f) - истинная СПМ.

ОДВПФ функции (5.11) дает ожидаемое значение эффективной автокорреляционной после­довательности периодограмм Уэлча

– автокорреляционная последовательность окна данных.

Полная мощность в исходной последовательности отсчетов данных определяется членом автокорреляционной последовательности, соот­ветствующим нулевому временному сдвигу. Поскольку U=Ф(0), то

a это означает, что r^W(0) - несмещенная оценка мощности.

До сих пор мы оценивали автоспектральную плотность, причем в обозначениях СПМ были опущены подстрочечные индексы xx. Процедура Уэлча для оценивания взаимной спектральной плотности во многом аналогична процедуре оценки спектральной плотности. В этом случае N-точечные последовательности x(n) и y(n) сначала сегментируются и взвешиваются, в результате чего получаются последовательности

где 0nD-1, 0pP-1, по которым затем вычисляется выборочный взаимный спектр

где

– ДВПФ, а U – энергия дискретно-временного окна. Усреднение по периодограммам всех сегментов дает окончательную оценку периодограммы

В случае гауссовских процессов характеристики среднего значения и дисперсии этой взаимной спектральной оценки во многом сходны с характеристиками аналогичных величин для cпектральной оценки.

Уэлч, в частности, предложил использовать окно Ханна и 50%-ное перекрытие сегментов, которое обеспечивало очень эффективные реализации его метода на основе алгоритма БПФ при вычислении оценки (5.10) на некоторой сетке частот. Кроме того, при 50%-ном пе­рекрытии сегментов все данные используются дважды, за исключением D/2 отсчетов на каждом конце исходной N-точечной последовательно­сти данных, а это выравнивает обработку большинства отсчетов дан­ных, поскольку те отсчеты, которые имеют малые веса на одном сег­менте, получают большие веса на следующем сегменте. Анализ поведе­ния дисперсии периодограммы Уэлча для гауссовских процессов пока­зал, что минимальная дисперсия для окна Ханна достигается при 65%-ном перекрытии, при этом величина дисперсии увеличивается прибли­зительно на 8% при использовании 50%-ного перекрытия сегментов. Так же как и дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия перио­дограммы Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегментов, т. е.

в предположении независимости сегментов (хотя перекрытие сегментов приводит, конечно, к некоторой их зависимости). Благодаря перекры­тию сегментов при одинаковой длине исходной последовательности данных, можно сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартлетта, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.

В ряде опубликованных исследований утверждается, что примене­ние окон данных лишь придает одним отсчетам большую значимость пе­ред другими отсчетами, а также ухудшает разрешение (уширяет глав­ный лепесток частотного окна) без какого-либо компенсирующего уменьшения дисперсии. Эти утверждения, несомненно, верны в отноше­нии выборочного спектра, получаемого сразу по всей последователь­ности отсчетов сигнала с относительно плоской спектральной харак­теристикой. Однако по отношению к периодограмме Уэлча они не верны, поскольку перекрытие сегментов как раз и используется для выравнивания обработки (т. е. выравнивания значимости отсчетов) данных, а увеличение числа сегментов - для уменьшения дисперсии оценки СПМ. Не верны они и в отношении спектров сигналов с большим различием амплитуд составляющих.

Рис.5.2

Рассмотренные периодограммные методы анализа отображены на рис. 5.2. Следует заметить, что при выборе того или иного метода необходимо учитывать его ограничения и особенности. Так, очевидно, метод Даньелла неприменим при значительных флуктуациях P(f). Однако, по-видимому, ему следует отдать предпочтение, если априорно известно, что P(f)=const в диапазоне анализа. В этом случае выражение (5.3) представимо в виде

Сегментирование исходной последовательности x(n), используемое в методах Бартлетта и Уэлча, приводит к ухудшению разрешающей способности в P раз, поэтому при выборе числа элементов в сегменте также необходимо иметь априорную информацию о спектре флуктуаций P(f) в диапазоне анализа.