5.1. Периодограммные методы спектрального анализа

Термин "периодограмма" впервые был использован в работах А. Шустера в 1897 г. Идея предложенного им метода заключалась в ус­реднении спектральной оценки, полученной для конечной реализации данных, по нескольким оценкам для различных реализаций (периодограмм). Метод получил развитие, и в настоящее время имеется ряд его модификаций.

Одним из формальных определений СПМ, основанных на допущении об эргодичности, является следующая дискретно-временная форма:

Пренебрегая операцией вычисления математического ожидания { } и полагая, что конечное множество данных {x(0), ..., x(N-1)} содержит N отсчетов, получим выборочный спектр

который может быть вычислен по конечной последовательности данных. Это - исходная немодифицированная форма периодограммной оценки СПМ. Выборочный спектр будет давать статистически несостоятельные (т. е. неустойчивые) оценки СПМ, поскольку была опущена операция вычисления математического ожидания, предусмотренная выраже­нием (5.1). Поэтому для сглаживания периодограммной оценки необхо­димо применять что-то вроде псевдоусреднения по ансамблю. Предло­жены три основных типа методов сглаживания. В методе Даньелла (1946 г.) периодограмма сглаживается путем усреднения по соседним ячей­кам частотного разрешения. В методе Бартлетта (1948 г.) произво­дится усреднение по множеству периодограмм, полученных по непере­крывающимся сегментам исходной последовательности данных. В методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся сегментам и вводится окно данных для уменьшения смещения оценок из-за эффекта просачивания.

Классификация перечисленных методов оценки СПМ отражена на рис. 5.1.

Рис. 5.1

В литературе описано также много других оптимальных методов сглаживания периодограмм, однако, все они оптимальны только приме­нительно к некоторым ограниченным классам сигналов. Три перечис­ленных метода, которые мы рассмотрим, возможно, не всегда опти­мальны, но практика доказала их статистическую устойчивость для многих классов сигналов.

5.1.1. Периодограмма Даньелла

Даньелл предположил, что для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спектра можно использовать усреднение по соседним спектральным частотам. Если для вычисления выборочного спектра P(f) на сетке частот f_k=k/NT, 0kN-1, используется алгоритм БПФ, то модифицированная оценка периодограммы на частоте f_i может быть получена посредством усреднения в P точках значений P(f) с каждой стороны от этой частоты:

Обобщением этого подхода является обработка выборочного спек­тра с помощью фильтра нижних частот с частотной характеристикой H(f). Периодограмму Даньелла можно в этом случае записать в виде свертки выборочного спектра и частотной характеристики фильтра нижних частот

Подстрочечный индекс D в этих выражениях использован для того, чтобы отличить периодограммную оценку Даньелла от других оценок СПМ.

5.1.2. Периодограмма Бартлетта

Сглаживание выборочного спектра по методу Бартлетта основано на создании псевдоансамбля периодограмм за счет деления последова­тельности из N отсчетов данных на P неперекрывающихся сегментов по D отсчетов в каждом, так что DPN. Тогда p-й сегмент будет состо­ять из отсчетов

x^(p)(n)=x(pD+n),

где 0nD-1, а надстрочечный индекс (p) обозначает номер сег­мента. По каждому сегменту 0pP-1 независимо, в диапазоне -1/2Tf1/2T вычисляется выборочный спектр

для чего может быть использован алгоритм БПФ на некоторой сетке частот. Затем на каждой частоте, представляющей интерес, P отдель­ных немодифицированных периодограмм усредняются, с тем, чтобы по­лучить усредненную периодограмму Бартлетта P_B(f)

Смещение среднего значения этой периодограммы определяется выражением

Таким образом, смещение оценки P_B(f) обусловлено воздействием окна, которое смещает и выборочный спектр периодограммы каждого отдельного сегмента. Если периодограммы P сегментов статистически независимы (что приближенно выполняется в том случае, когда значе­ния автокорреляции

r(m)={x(n+m)x^*(n)}

малы при m>D, то P_B(f) можно рассматривать как выборочное среднее значение некоторой совокупности из P независимых наблюдений выбо­рочного спектра P(f). Можно показать, что величина дисперсии усредненной периодограммы Бартлетта обратно пропорцио­нальна числу используемых сегментов, т. е.

Следовательно, приближенно можно считать, что устойчивость этой спектральной оценки улучшается как величина, обратная числу сегментов P. Уменьшение дисперсии с увеличением P будет меньше в том случае, когда периодограммы сегментов оказываются статисти­чески зависимыми. Что же касается разрешения, то оно в результате разбиения последовательности данных на сегменты по D отсчетов в каждом, где D<N, будет, естественно, уменьшаться, поскольку ре­зультирующее эффективное спектральное окно в этом случае имеет бо­лее широкий главный лепесток. При фиксированном значении N=PD со­блюдается обычное компромиссное соотношение между высоким спек­тральным разрешением (при максимально возможном значении D) и ми­нимальной дисперсией оценки (при максимально возможном значении P).