5. Классические методы спектрального оценивания

Существуют два формальных, но эквивалентных типа методов определения спектральной плотности мощности (СПМ). Прямые методы основаны на вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бесконечной последовательности данных с использованием соответствующего статистического усреднения и исторически получили название периодограммных методов. Косвенные методы основаны на использовании бесконечной последовательности значений данных для расчета автокорреляционной последовательности (АКП), преобразование Фурье которой дает искомую оценку СПМ. Они называются коррелограммными методами спектральной оценки. Эти методы основаны на связи АКП и СПМ дискретным преобразованием Винера-Хинчина.

Оба типа методов применяются сравнительно давно и поэтому получили название классических методов спектрального оценивания. Все эти методы обычно используются применительно к дискретно-временным последовательностям отсчетов данных.

Мы говорим об оценке СПМ, так как на практике в спектральном анализе используют конечные последовательности данных вместо бесконечных, что обусловливает невозможность получения точного спектра. Оценка характеризуется следующими параметрами.

Смещением оценки параметра  называется разность между истинным значением этого параметра и математическим ожиданием этой оценки:

Несмещенной оценкой называется такая, для которой .

Дисперсией оценки называется средний квадрат отклонения оценки от ее среднего значения

Говорят, что оценка состоятельна, если с увеличением числа наблюдений смещение и дисперсия стремятся к нулю.

Классические методы спектрального оценивания относятся к числу наиболее устойчивых (робастных) методов спектрального оценивания. Они применимы почти ко всем классам стационарных сигналов и шумов, тогда как методы высокого разрешения (основанные на линейном моделировании) оказываются рабастными только в случае ограниченного класса стационарных сигналов.

В классических методах, как правило, используются алгоритмы БПФ, поэтому они оказываются наиболее вычислительно эффективными. В получаемых с их помощью оценках СПМ (в отличие от методов высокого разрешения) высота спектральных пиков линейно зависит от мощности синусоид, присутствующих в данных.

Основной недостаток классических методов спектрального оценивания обусловлен искажающим воздействием просачивания по боковым лепесткам из-за использования конечных последовательностей данных. Взвешивание позволяет ослабить влияние боковых лепестков, но лишь за счет ухудшения спектрального разрешения.

Разрешение, обеспечиваемое классическими методами, не может превышать величины, обратной длине записи данных, и не зависит от характеристик анализируемых данных. Для улучшения статистической устойчивости спектральных оценок может быть использовано псевдоусреднение по ансамблю за счет сегментации данных, но это также ухудшает спектральное разрешение. Обработка конечных записей данных требует принятия компромиссов относительно разрешения, устойчивости (минимизации дисперсии оценки) и подавления просачивания.

И периодограммные, и коррелограммные методы дают оценки, которые обладают аналогичными статистическими характеристиками и в целом выглядят примерно одинаково, если не считать небольших визуальных различий в тонких деталях формы спектров. На практике предпочтение отдается наиболее эффективным в вычислительном отношении методам. До широкого распространеня ЭВМ в основном применялся корреляционный метод. С появлением алгоритмов БПФ и спецпроцессоров ЦОС предпочтение было отдано периодограммным методам.