2.2 Алгоритм метода ветвей и границ

Основные правила алгоритма могут быть сформулированы следующим образом:

1. Ветвлению в первую очередь подвергается подмножество с номером , которому соответствует наименьшее значение нижней оценки целевой функции (I – это множество номеров всех подмножеств, (или ), находящихся на концах ветвей и ветвление которых еще не прекращено). Если реализуется изложенный выше способ ветвления множеств , то может возникнуть неоднозначность относительно выбора компоненты, по которой необходимо осуществлять очередной шаг ветвления. К сожалению, вопрос о «наилучшем» способе такого выбора с общих позиций пока не решен, и поэтому в конкретных задачах используются некоторые эвристические правила.

2. Если для некоторого i-го подмножества выполняется условие , то ветвление его необходимо прекратить, так как потенциальные возможности нахождения хорошего решения в этом подмножестве (их характеризует ) оказываются хуже, чем значение целевой функции для реального, найденного к данному моменту времени, допустимого решения исходной задачи (оно характеризует ).

3. Ветвление подмножества прекращается, если найденное в задаче оптимальное решение . Обосновывается это тем, что , и, следовательно, лучшего допустимого решения, чем в этом подмножестве не существует. В этом случае рассматривается возможность корректировки .

4. Если , где , то выполняются условия оптимальности для найденного к этому моменту лучшего допустимого решения. Обоснование такое же, как и пункта 2 настоящих правил.

5. После нахождения хотя бы одного допустимого решения исходной задачи может быть рассмотрена возможность остановки работы алгоритма с оценкой близости лучшего из полученных допустимых решений к оптимальному (по значению целевой функции):

2.3 Решение задачи методом ветвей и границ

Пусть

- целые .

Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных.

Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи.

Если среди компонент плана имеются дробные числа, то необходимо осуществить переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи.

Метод ветвей и границ основан на предположении, что наш оптимальный нецелочисленный план дает значение функции, большее, чем всякий последующий план перехода.

Пусть переменная в плане – дробное число. Тогда в оптимальном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу , либо больше или равно ближайшему большему целому числу .

Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования

- целые .

и

- целые .

Возможны четыре случая при решении этой пары задач:

1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции дают решение исходной задачи.

2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет нецелочисленный оптимальный план. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу и строим две задачи, аналогичные предыдущим.

3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции от планов и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и дает искомое решение.

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. И строим две задачи.

Таким образом, при решении задачи получаем схему:

1. Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.

2. Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.

3. Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.

4. Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.

3. Пример

На кондитерской фабрике для производства карамели видов А и С используют сахарный песок, патоку и фруктовое пюре, ресурсы которых в плановый период заданы 6, 8 и 4 тонны соответственно. Расходы сырья на 1 тонну карамели соответствующего вида, а так же прибыль заданы в таблице.

Вид сырья	Расход сырья на 1т. карамели			Запасы сырья
	А	С
Сахарный песок	4	5	6
Патока	1	6	8
Фруктовое пюре	1	8	4
Прибыль	7	5

1. Построение математической модели

- объем выпуска карамели вида А

- объем выпуска карамели вида С

F( )= (U)

Целевая функция линейная, система ограничений задана системой линейных неравенств, каждая переменная не отрицательна. Математическая модель соответствует общей постановке ЗЛП, ее можно решить графическим методом.

2. x1	0	1,5
   x2	1,2	0

   _{Найдем ОДР}

x1	2	8
x2	1	0

x1	0	4
x2	1	0

3. Поиск оптимального решения

3. Формируем задачу ЛП1, добавив к задаче ЛП0 ограничение и задачу ЛП2, добавив к задаче ЛП0 ограничение

1. 

2. 

4. Формируем задачи ЛП3 и ЛП4, введя ограничения и

1. 

2. 

Выводы:

1. Максимальная прибыль от производства карамели А и С равна 7 у.д.е.

2. Для достижения максимальной прибыли необходимо производить только карамель А в количестве 1 тонны.

3. При этом сахарного песка останется 2 тонны, патоки 7 тонн, фруктового пюре 3 тонны.

Заключение

Практика порождает все новые и новые задачи оптимизации, причем их сложность растет. Требуются новые математические модели и методы, которые учитывают наличие многих критериев, проводят глобальный поиск оптимума. Другими словами, жизнь заставляет развивать математический аппарат оптимизации.

Реальные прикладные задачи дискретной оптимизации очень сложны. Современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека. Нет, пока такой теории, которая учла бы любые особенности функций, описывающих постановку задачи. Следует отдавать предпочтение таким методам, которыми проще управлять в процессе решения задачи.

Очевидным недостатком метода ветвей и границ при решении задач большой размерности я является необходимость перебрать слишком большое количество вариантов, перед тем как будет найден оптимальный план. Однако он отчасти может быть преодолен, если ограничится поиском не оптимального, а просто «хорошего» (близко к оптимальному) плана. О степени такой близости и скорости приближения к экстремуму нетрудно судить по изменению значений оценок.