2.2.4.Приложения тройного интеграла

С помощью тройного интеграла можно вычислить ряд геометрических и физических величин:

- объем пространственной области находится по формуле ;

- массу тела, занимающего область , можно вычислить с помощью тройного интеграла , где – плотность распределения массы;

- координаты центра тяжести тела, занимающего область , находятся по формулам: , , , где – статические моменты тела относительно координатных плоскостей:

, , .

Для однородного тела ;

- моменты инерции тела, занимающего область , относительно координатных осей и начала координат (полярный момент) определяются формулами:

, ,

, .

3.Векторный анализ

В этом разделе рассматриваются элементы дифференциального и интегрального исчисления в векторной форме.

3.1.Скалярные и векторные поля

3.1.1.Основные понятия

Пусть – область в трехмерном пространстве. Если определена функция : , то говорят, что в области задано скалярное поле (или скалярная функция ). Таким образом, скалярное поле есть функция трех переменных или, что то же, точки с координатами , и . Наряду с обозначениями или используют запись , где – радиус-вектор точки .

Всюду ниже рассматриваются только гладкие скалярные поля, то есть предполагается, что функция имеет непрерывные частные производные , , и , причем для любой точки из области .

Если для любой точки ставится в соответствие вектор , то говорят, что в области задано векторное поле . Если положить , то векторное поле можно обозначить так же в виде . Таким образом, векторное поле является функцией . Векторное поле может быть записано покоординатно в виде , где , , – некоторые определенные в функции.

Определенное равенством векторное поле называют непрерывным, если и гладким, если . Всюду ниже рассматриваются только непрерывные векторные поля.

Аналогичным образом определяются скалярные и векторные поля на плоскости .

3.1.2.Геометрические характеристики полей

Простейшими геометрическими характеристиками скалярных полей являются линии уровня на плоскости ( ) и поверхности уровня в пространстве ( ). В силу условия через каждую точку области проходит только одна поверхность уровня и поверхности уровня между собой не пересекаются.

Для векторных полей простейшими геометрическими характеристиками являются векторные линии и векторные трубки.

Векторной линией поля называют кривую, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора .

Векторные линии поля описываются системой уравнений

.

Действительно, пусть - радиус-вектор какой-либо векторной линии поля . Вектор направлен по касательной к ней. Векторы и коллинеарны, т.е. .

Если , для любой точки , то через каждую точку области проходит только одна векторная линия, векторные линии между собой не пересекаются. Ниже рассматриваются только такие поля.

Пусть - замкнутая гладкая кривая, содержащаяся в , такая, что направление касательной в каждой ее точке не совпадает с направлением вектора . Тогда каждую точку кривой пересекает единственная векторная линия поля . Множество таких векторных линий будет определять некоторую поверхность, называемую векторной трубкой поля .