2.1.5.Замена переменных в двойном интеграле Криволинейные координаты

Предположим, что нам даны две плоскости, отнесенные к прямоугольным координатам и .

Р ассмотрим в этих плоскостях две замкнутые области и с контурами и соответственно.

Пусть в области задана система функций

.

Будем считать, что и являются однозначными функциями и и более того, система уравнений однозначно разрешима относительно и , т.е. и являются однозначными функциями и .

.

Тем самым между областями и устанавливается взаимно-однозначное соответствие. Говорят, что формулы осуществляют преобразование области в область ; а формулы дают обратное преобразование. При этом, точкам контура соответствуют точки контура и наоборот.

Предположим, что функции имеют в непрерывные частные производные первого порядка. Тогда функциональный определитель (якобиан) является непрерывной функцией двух переменных и в области .

Будем считать, что этот определитель не равен нулю и, следовательно, сохраняет постоянный знак в силу непрерывности.

Задание пары значений и в области в то же самое время однозначно определяет некоторую точку в области ; в силу этого числа ( и ) (помимо и ) можно считать координатами точек в области .

Определение. Кривую, составленную из точек области , у которых одна из координат или сохраняет постоянное значение, называют координатной линией.

Если в положить , получим параметрическое представление координатной линии . (Роль параметра играет .)

Неявное уравнение той же линии можно получить, полагая во втором уравнении системы : .

В связи с тем, что координатные линии на плоскости вообще говоря, будут кривыми, то числа и , характеризующие положение точки на плоскости, называются криволинейными координатами точки.

Придавая различные значения, получим на плоскости семейство координатных линий. Фиксируя значение , получим другое семейство координатных линий. При наличии взаимнооднозначного соответствия между рассматриваемыми областями, различные линии одного и того же семейства не пересекаются, и через любую точку области проходит по одной линии из каждого семейства.

Вся сетка координатных линий на плоскости является изображением сетки прямых ; на плоскости .

Примеры криволинейных координат Полярные координаты.

О ни имеют наглядное геометрическое истолкование как полярный радиус-вектор и полярный угол, но могут быть введены и формально

Прямым и (на плоскости ) будут отвечать окружности радиуса с центром в и лучи, исходящие из начала координат под углом к оси .

Для того, чтобы получить все точки плоскости достаточно ограничиться значениями ; . Каждой точке , отмеченной от начала координат отвечает одно значение и одно значение в указанных пределах. Но неустранимое нарушение однозначности соответствия связано с началом координат . Это точку надо рассматривать особо.

Обобщенные полярные координаты.

, , . Здесь если , то уравнение координатной линии в примет вид эллипса

Выражение элемента площади в криволинейных координатах

Р ассмотрим снова преобразование плоскости в плоскость , которые задаются формулами

Выделим на плоскости бесконечно малый прямоугольник со сторонами и параллельными осям и . Изображением этого прямоугольника на плоскости будет криволинейный четырехугольник .

Определим его площадь.

Вершины прямоугольника на плоскости имеют координаты , , , . Тогда координаты вершин четырехугольника будут

, ,

, .

Если ограничиться членами первого порядка малости относительно и , т.е. , , то приближенно можно взять точки , ,

,

где , и все производные вычислены в точке .

Т.к. проекция отрезков и на обе оси соответственно равны

и

то эти отрезки равны и параллельны, так что с точностью до бесконечно малых высшего порядка, четырехугольник есть параллелограмм, его площадь равна удвоенной площади треугольника .

Из аналитической геометрии известно, что если , , , то (по абсолютной величине), т.е. в нашем случае .

Так выражается элемент площади в криволинейных координатах.

Разбивая область (на плоскости ) прямыми, параллельными осям на бесконечно малые прямоугольники, мы одновременно разложим и фигуру на криволинейные четырехугольники рассмотренного вида. Суммируя выражения для их площадей, мы придем к формуле

Замечание. Знак функционального определителя указывает на направление обхода контура, если , то при положительном обходе контура в области соответствующий контур в так же обходится в положительном направлении; , то положительному обходу контура соответствует отрицательный обход .

Из равенства , видно, что якобиан является коэффициентом растяжения площади при отображении плоскости на плоскость .

2.1.6.Приложения двойного интеграла

Вычисление объемов

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу – областью плоскости , находится по формуле:

.

Если тело не является цилиндрическим, то его разбивают на цилиндрические части.

Вычисление площади поверхности

Пусть поверхность , заданная уравнением , проектируется на плоскость в область . Тогда ее площадь находят по формуле

.

Приложения в механике

Пусть – плоская пластинка, лежащая в плоскости , с поверхностной плотностью массы . Тогда:

1) массу пластинки находят по формуле

;

2) статические моменты и пластинки относительно координатных осей и находят по формулам

, ;

3) координаты центра тяжести и пластинки – по формулам

и ;

4) моменты инерции , и пластинки соответственно относительно координатных осей , и начала координат находят по формулам

, ,

.

Для однородных пластинок и для простоты в этом случае можно считать .