2.1.2.Геометрический смысл двойного интеграла

Если задана поверхность , то приближенно равно объему цилиндрического бруса с основанием .

Т огда двойной интеграл, как предел при суммы объемов таких цилиндрических Брусов есть объем цилиндра, определенного следующим образом: область - нижнее основание цилиндра; верхнее основание – часть поверхности , соответствующая области ; боковая – поверхность цилиндрическая с образующей, параллельной оси ; направляющей является граница области .

Интегральная сумма – это сумма Римота и обозначается .

Можно рассмотреть также суммы Дарбу:

Свойства сумм Дарбу:

;

если к старому разбиению добавить несколько линий, то может только уменьшиться, а только увеличиться.

- даже для разных разбиений; следовательно, множество всегда ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу; а множество имеет точную нижнюю границу.

Теорема Дарбу. Для того, чтобы двойной интеграл существовал необходимо и достаточно, чтобы , или в других обозначениях , где - колебание функции в частичной области .

Следствие. Если непрерывна в , то двойной интеграл существует.

Более того, двойной интеграл существует для всякой ограниченной , имеющей разрывы на конечном числе кривых с нулевой площадью (т.е. всякую линию разрыва можно заключить внутрь многоугольной области с площадью меньше любого наперед заданного ).

2.1.3.Свойства двойных интегралов

Пусть заданы функции и и существуют и , тогда существует и

.

Если – некоторое число и существует , тогда существует и

Если область состоит из двух непересекающихся областей , и в каждой из областей существует двойной интеграл, то

.

Замечание. Для доказательства следует написать сумму Римана и включить в разбиение линию границы областей, тогда можно разбить сумму на две, соответствующие этим областям.

Двойной интеграл от постоянной величины равен этой величине, умноженной на площадь области интегрирования

.

Двойной интеграл от знакопостоянной функции есть число того же знака, что и функция

, если .

Неравенство между функциями можно интегрировать: , если и функции и не являются тождественно равными.

Абсолютная величина двойного интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подынтегральной функции

.

Если всюду в области функция такова, что справедливо неравенство , то , где - площадь области.

Теорема о среднем.

Если и непрерывны в области и знакопостоянна, тогда справедлива формула , где определенная точка в области интегрирования.

Доказательство: Пусть в области . Обозначим через и наибольшее и наименьшее значение в области : .

Умножим на и проинтегрируем полученное неравенство по области :

или ,

где .

Так как непрерывна в , то должна существовать, по крайней мере, одна точка, где , т.е. , что и требовалось доказать. Кроме того, если положить , то .

2.1.4.Вычисление двойного интеграла

Пусть требуется вычислить .

Рассмотрим случай, когда . Построим цилиндрическое тело , объем которого равен рассматриваемому интегралу

.

Пусть отрезки и являются проекциями области на координатные оси. Предположим, что всякая прямая, параллельная оси , пересекает границу области в двух точках (кроме прямых , ). Пусть уравнения «верхней» и «нижней» области и .

Зафиксируем точку ( ) и проведем плоскость . Пересечение этой плоскости с телом дает плоскую пластину с площадью . Эта криволинейная трапеция с основанием и ограниченная дугой графика функции , причем аргумент меняется в пределах .

З начит, площадь этой криволинейной трапеции .

Меняя теперь в пределах от до , применим для определения объема тела формулу объема по площадям поперечных сечений

.

Заменяя в этом равенстве на и учитывая, что , получим

.

Интеграл, стоящий в правой части, называется повторным.

Мы рассмотрели случай, когда граница области пересекается в двух точках прямыми, параллельными оси .

Аналогично, если тоже выполнено относительно оси (кроме прямых и ), а и – уравнения «левой» и «правой» частей границы соответственно, то рассуждая аналогично, получим

.

Исходя из и , получаем возможность изменять порядок интегрирования при вычислении повторных, и – как следствие – двойных интегралов

.

Замечание. Следует отметить, что при вычислении повторных интегралов, сначала вычисляется внутренний интеграл по указанной переменной, считая другую переменную постоянной величиной, а затем после применения формулы Ньютона-Лейбница к внутреннему интегралу, интегрируем полученное выражение по указанной другой переменной.

Мы рассмотрели случай, когда .

Если же , то и

.

Н о , т.е. получаем ту же формулу.

Пусть теперь - знакопеременная в .

Пусть в подобласти , в подобласти , и пусть - уравнение линии, разделяющей на и . Тогда

, т.е. формула справедлива и для знакопеременной функции.

И наконец, если область интегрирования более сложная, то ее следует разбить на части, для которых справедлива одна из формул и .