1.8.2.Достаточные признаки наличия экстремума для функций двух и трех переменных
1) Функция двух независимых переменных .
Пусть функция
трижды дифференцируема и точка
-
стационарная, т.е.
.
Введём обозначения:
,
Тогда:
а) если
и
,
то точка
-
точка минимума;
б) если
и
,
то точка
-
точка максимума;
в) если
,
то точка
не является точкой экстремума.
2) Функция трех независимых переменных .
Пусть функция трижды дифференцируема и точка стационарная, т.е. . Обозначим:
и
.
Тогда, если:
а)
,
то
-
точка минимума;
б)
,
то
-
точка максимума;
в) , то - не является точкой экстремума.
Пример.
Исследовать функцию
на экстремум.
Найдем стационарные
точки функции
,
то есть
– стационарная точка
Воспользуемся
достаточным условием экстремума функции
трёх переменных, для этого вычислим
частные производные второго порядка в
точке
:
если
Так как
,то
-
точка минимума.
.
Ответ:
в точке
.
1.8.3.Условный экстремум функции многих переменных
Пусть
- функция
независимых аргументов и задано
уравнений, связывающих аргументы функции
(
):
. Такие уравнения называются
уравнениями связи.
Точка , координаты которой удовлетворяют всем уравнениям связи, называется точкой условного максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство: ( ).
Например, пусть задана
функция трех переменных
и уравнение связи
.
Геометрически это означает, что экстремум
функции
ищется среди точек расположенных на
поверхности, задаваемой уравнением
.
Если записать еще одно уравнение связи
,
то геометрически это будет означать,
что экстремум функции
разыскивается на кривой линии, которая
является пересечением поверхности
и поверхности
.
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа:
,
где
-
постоянные, так называемые множители
Лагранжа
.
Таким образом, возможные точки условного экстремума находят из системы n+m уравнений:
Наличие или отсутствие экстремума в найденных стационарных точках устанавливают с помощью достаточных признаков, применяя их к функции Лагранжа.
Задача на условный экстремум возникает, в частности, тогда, когда необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе какой-либо области.
Для отыскания глобального экстремума функции многих переменных заданной в замкнутой области надо:
1) Найти все стационарные точки функции в этой области и точки, в которых она не дифференцируема.
2) Вычислить значение функции во всех этих точках.
3) Используя уравнения связи, которые задают границы области, составить функцию Лагранжа и решить задачу на условный экстремум функции, то есть найти максимальное и минимальное значение функции на границе области.
4) Выбрать наибольшее и наименьшее значение среди набора чисел, полученных в пунктах 2 и 3.
2.Кратные интегралы
2.1.Двойной интеграл
2.1.1.Определение двойного интеграла
П
усть
в некоторой двумерной области
(ограниченной и квадрируемой) задана
функция
.
Разобьем
на конечное число областей
.
Площадь каждой элементарной части будет
.
Пусть
- есть диаметр области
,
т.е. наибольшее
из расстояний между двумя точками,
лежащими в данной области. Возьмем
внутри
точку с координатами
и вычислим там значение функции
.
Умножив это значение функции на
площадь области
,
составим сумму по всем элементарным
областям.
- это интегральная сумма для функции
в области
.
Определение.
Если при произвольном разбиении
области
на части
и при произвольном выборе точек
существует конечный предел
,
то этот предел называется двойным
интегралом по области
функции
и обозначается
.
Функция, имеющая интеграл, называется интегрируемой.
Замечание 1.
В определении обязательной должно
фигурировать
;
это требование
нельзя подменять
.
При предельном переходе области
(элементарные) должны «сжиматься в
точку».
Замечание 2.
Если разбить область
на части прямыми, параллельными
координатным осям, то
и
.