1.4.Полный дифференциал функции многих переменных

1.4.1.Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Определение. Пусть функция определена в некоторой области . Придадим каждому аргументу некоторое приращение , . Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называют разность: .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки полное приращение этой функции может быть представлено в виде:

где , и числа не зависят от приращений .

Определение. Полным дифференциалом первого порядка функции в точке называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно приращений аргументов :

Дифференциалы независимых переменных по определению принимаются равными их приращениям: . Можно показать, что числа совпадают со значениями частных производных функции в точке . Таким образом, полный дифференциал функции многих переменных вычисляется по формуле:

.

Например, для функции двух переменных полный дифференциал имеет вид .

Необходимым условием дифференцируемости функции многих переменных в точке является существование всех частных производных функции в этой точке.

Достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование и непрерывность всех частных производных функции в этой точке.

1.4.2.Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть дифференцируемая в точке функция, тогда полное приращение функции можно записать в виде: , где при и , то есть полное приращение функции и полный дифференциал функции есть эквивалентные бесконечно малые при Таким образом, справедлива формула для приближенного вычисления приращения функции или приближенного вычисления значения функции в точке:

Пример.

Найти значение функции в точке (2.99,4.03).

Возьмем , тогда

.

Поскольку , то окончательно получаем:

1.4.3.Дифференциалы высших порядков

Определение. Дифференциалом второго порядка функции называют дифференциал от ее дифференциала первого порядка , рассматриваемого как функция переменных при фиксированных значениях :

Аналогично определяется дифференциал k-го порядка:

Дифференциал k-го порядка функции , где - независимые переменные, выражается символической формулой:

,

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Например, для функции двух переменных можно записать:

, .

1.5.Дифференцирование сложной функции

Пусть - дифференцируемая функция переменных , которые сами являются дифференцируемыми функциями переменной : , , тогда полная производная сложной функции по аргументу выражается формулой:

В частности, если совпадает с одной из переменных, например , то полная производная функции по равна:

Пример.

Найти полную производную функции

.

В общем случае, если - дифференцируемая функция переменных , которые сами являются дифференцируемыми функциями переменных : , , частные производные сложной функции по аргументам выражаются формулами:

,

,

…………………………

.

Причём, переменные называют независимыми аргументами функции , а переменные - зависимыми или промежуточными аргументами.

Пример.

Найти производные функции по независимым аргументам, если , .

Имеем: , , , , , .

,

.