5.1.Пример выполнения задания:
1) Изменить порядок интегрирования в интеграле:
.
Изобразим линии,
ограничивающие области интегрирования:
,
,
,
и
,
,
,
(см.рис. 5.1.).
Н
айдем
левую границу получившейся области как
точку пересечения парабол и прямой
:
.
Вся область заключена
в полосе между прямыми
,
и ограничена снизу и сверху линиями
,
.
Составим повторный интеграл по этой
области, как интеграл по переменной
от интеграла по переменной
:
.
2) Вычислить интеграл
Изобразим область интегрирования (см. рис. 5.2.).
Н
айдем
точки пересечения прямых
и
:
То есть область лежит
в полосе между прямыми
и ограничена снизу и сверху линиями
и
.
Следовательно:
3) Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями
,
,
.
К
ак
видно из рисунка (см.рис. 5.3.), область
интегрирования представляет собой
часть сектора, выходящего из начала
координат. Поэтому, для интегрирования
удобно перейти к полярным координатам
по следующим формулам:
Найдем уравнения каждой из линий, ограничивающих область, в новых координатах:
;
;
.
Область заключена
внутри сектора
между началом координат и окружностью
.
Следовательно площадь этой области:
4) Вычислить тройной
интеграл
,
если объем
ограничен поверхностями:
,
,
,
,
Область интегрирования представляет собой пирамиду. Чтобы расставить пределы интегрирования по переменным и , изобразим проекцию этой области на плоскость (см. рис. 5.5.).
Следовательно,
