4.1.Пример выполнения задания:

1) Найти и изобразить на плоскости область определения функции .

Функция определена при ; квадратный корень вычисляется из неотрицательного числа; знаменатель дроби не может быть равен нулю. Следовательно, область определения должна удовлетворять неравенствам:

.

Уравнения границ области определения есть:

.

П ервые два уравнения это уравнения прямых, а последнее – уравнение окружности радиуса 2. Изобразим полученные линии на координатной плоскости, причем, если уравнение линии было получено из строгого неравенства, то ее следует изобразить пунктиром (см. рис. 4.1.).

Таким образом, все возможные значения переменных и разбились на семь областей. Возьмем в каждой из них произвольную точку, и подставим в систему неравенств. Если точка из области удовлетворяет системе неравенств, то и все остальные точки области будут удовлетворять этим неравенствам. В данном случае точки из областей I, V, VI, VII не удовлетворяют третьему неравенству, из области II – первому, а из области IV – второму. Таким образом, только точки области III удовлетворяют всем неравенствам системы, и принадлежат области определения функции (см. рис. 4.2.)

2) Найти частные производные функции .

Р ассматривая как постоянную величину, найдем производную этой функции по :

Аналогично, рассматривая как постоянную величину, найдем производную по переменной :

3) Найти полный дифференциал функции .

Найдем частные производные этой функции: , . Тогда воспользовавшись формулой полного дифференциала, получим:

4) Найти частные производные II порядка функции . Найдем частные производные этой функции: , . Продифференцировав второй раз по переменной , получим .

Продифференцировав функцию по переменной получим . (Тот же результат получили бы, продифференцировав функцию по переменной ).

Продифференцировав второй раз по переменной , получим .

5) Найти , если , где .

Воспользуемся формулой .

Здесь ; ;

. Таким образом, .

Учитывая, что , окончательно получим

.

6) Найти производную неявной функции по переменной .

Здесь . Продифференцируем функцию по переменной : . И по : . Воспользовавшись формулой , получим: .

7) Исследовать функцию на экстремум.

Частные производные этой функции: , . Найдем стационарные точки этой функции, воспользовавшись необходимым условием экстремума:

Стационарная точка – . Проверим, является ли она точкой экстремума с помощью достаточного условия:

;

;

В точке . Так как

, ,

то точка является точкой максимума.

5.Контрольная работа №6

Задание:

1. Изменить порядок интегрирования.

2. Вычислить двойной интеграл.

3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

4. Вычислить тройной интеграл.

Варианты заданий представлены в таблице 1.

Таблица 1

	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.